545. Докажите тождество: a) (x² + y²)(x² + y² - 2xy) - (x² + y² - 6xy)(x² + 14 + 4xy) = 24세 б) (a²³ + ab + 1)(3a² + 2ab) - (3a² - ab + 1)(a² + 2ab) = 2a² + 40

a) Докажем тождество: $$(x^2 + y^2)(x^2 + y^2 - 2xy) - (x^2 + y^2 - 6xy)(x^2 + y^2 + 4xy) = 24x^3y - 12xy^3$$ Введем новые переменные: $$a = x^2 + y^2$$, $$b = xy$$ Тогда выражение примет вид: $$a(a - 2b) - (a - 6b)(a + 4b) = a^2 - 2ab - (a^2 + 4ab - 6ab - 24b^2) = a^2 - 2ab - a^2 - 4ab + 6ab + 24b^2 = -2ab + 6ab + 24b^2 = 4ab + 24b^2$$ Вернемся к исходным переменным: $$4(x^2 + y^2)(xy) + 24(xy)^2 = 4x^3y + 4xy^3 + 24x^2y^2$$ Исходное выражение: $$4x^3y + 4xy^3 + 24x^2y^2 = 24x^3y - 12xy^3$$ Это не тождество, в условии ошибка. б) Докажем тождество: $$(a^3 + ab + 1)(3a^2 + 2ab) - (3a^3 - ab + 1)(a^2 + 2ab) = 2a^3 + 4ab$$ Раскроем скобки: $$3a^5 + 2a^4b + 3a^3b + 2a^2b^2 + 3a^2 + 2ab - (3a^5 + 6a^4b - a^3b - 2a^2b^2 + a^2 + 2ab) =$$ $$= 3a^5 + 2a^4b + 3a^3b + 2a^2b^2 + 3a^2 + 2ab - 3a^5 - 6a^4b + a^3b + 2a^2b^2 - a^2 - 2ab =$$ $$= (3a^5 - 3a^5) + (2a^4b - 6a^4b) + (3a^3b + a^3b) + (2a^2b^2 + 2a^2b^2) + (3a^2 - a^2) + (2ab - 2ab) =$$ $$= -4a^4b + 4a^3b + 4a^2b^2 + 2a^2$$ Исходное выражение: $$-4a^4b + 4a^3b + 4a^2b^2 + 2a^2 = 2a^3 + 4ab$$ Это не тождество, в условии ошибка. Ответ: Условия задач содержат ошибки.