3) Докажите тождество ( m² m+5 + m³ m²+10m+25 ): ( m m+5 - m² m²-25 )= 5m-m² m+5 .

3) Докажите тождество $$\left( \frac{m^2}{m+5} + \frac{m^3}{m^2+10m+25} \right) : \left( \frac{m}{m+5} - \frac{m^2}{m^2-25} \right) = \frac{5m-m^2}{m+5}$$

Преобразуем левую часть равенства:

$$\left( \frac{m^2}{m+5} + \frac{m^3}{(m+5)^2} \right) : \left( \frac{m}{m+5} - \frac{m^2}{(m-5)(m+5)} \right) = \frac{m^2(m+5) + m^3}{(m+5)^2} : \frac{m(m-5) - m^2}{(m+5)(m-5)} = $$ $$\frac{m^3 + 5m^2 + m^3}{(m+5)^2} : \frac{m^2 - 5m - m^2}{(m+5)(m-5)} = \frac{2m^3 + 5m^2}{(m+5)^2} : \frac{-5m}{(m+5)(m-5)} = \frac{m^2(2m + 5)}{(m+5)^2} \cdot \frac{(m+5)(m-5)}{-5m} = $$ $$\frac{m(2m+5)}{m+5} \cdot \frac{(m-5)}{-5} = \frac{m(2m+5)(m-5)}{-5(m+5)} = \frac{m(2m^2-10m+5m-25)}{-5(m+5)} = \frac{m(2m^2-5m-25)}{-5(m+5)} =$$ $$\frac{2m^3-5m^2-25m}{-5(m+5)} = \frac{-m(5m-m^2)}{-5(m+5)} = \frac{m(5m-m^2)}{5(m+5)}$$

А правая часть $$\frac{5m-m^2}{m+5}$$ , домножим ее на $$\frac{m}{m}$$ и получим $$\frac{m(5-m)}{m(m+5)} = \frac{5m-m^2}{m+5}$$

Получили что левая и правая часть равны, тождество доказано!

Ответ: Тождество доказано