Докажите, заполнив пропуски, свойство прямоугольного треугольника: катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle ACB = 90^\circ\), \(\angle ABC = 30^\circ\). Доказать: \(AC = \frac{1}{2}AB\). Доказательство. 1) Отметим на луче AC точку D так, что ______. Соединим точки B и D (дополнительное построение). 2) \(\angle A = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\) (так как сумма углов треугольника равна 180° и \(\triangle ABC\) - __________). \(\triangle ABC = \triangle DBC\) (по 2 сторон и углу). \(\angle CBD = \angle CBA\) (из п. 2). 3) \(\angle CBD + \angle CBA = 60^\circ\) (______). 4) \(\angle D = \angle A = 60^\circ\) (из п. __ и __). \(AB = AD = BD\) (из п. __ и __). \(AC = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}AB\) (из п. __ и __). Теорема доказана.

Здравствуйте, ребята! Сегодня мы докажем важное свойство прямоугольного треугольника, а именно, что катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Давайте заполним пропуски в доказательстве: 1) Отметим на луче AC точку D так, чтобы \(AC = CD\). 2) \(\angle A = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\) (так как сумма углов треугольника равна 180° и \(\triangle ABC\) - прямоугольный). \(\triangle ABC = \triangle DBC\) (по двум сторонам и углу). \(\angle CBD = \angle CBA\) (из п. 2). 3) \(\angle CBD + \angle CBA = 60^\circ\) (так как \(\angle ABC = 30^\circ\), и \(\angle CBD = \angle CBA\) из пункта 2, значит, \(2 \cdot \angle CBA = 60^\circ\)). 4) \(\angle D = \angle A = 60^\circ\) (из п. 2 и 3). \(AB = AD = BD\) (из п. 4 и определения равностороннего треугольника). \(AC = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}AB\) (из п. 1 и определения середины отрезка). Таким образом, мы доказали, что в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.