Докажите, заполнив пропуски, свойство прямоугольного треугольника: катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Дано: ΔABC, ∠ACB = __°, ∠ABC = __°. Доказать: __ = 1/2 AB. Доказательство: 1) Отметим на луче AC точку D так, что __. Соединим точки B и D (дополнительное построение). 2) ∠A = 90° - 30° = 60° (так как сумма углов треугольника равна __ ° и ΔABC - __ ). ΔABC = ΔDBC (__ ). ∠CBD = ∠CBA (из п. __). 3) ∠CBD + ∠CBA = 60° (__). 4) ∠D = ∠A = 60° (из п. __ и __). AB = AD = BD (из п. __ и __). AC = 1/2 AD = 1/2 AB (из п. __ и __). Теорема доказана.

Привет, ученики! Сегодня мы докажем важное свойство прямоугольного треугольника. Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle ACB = 90^\circ\), \(\angle ABC = 30^\circ\). Доказать: \(AC = \frac{1}{2} AB\). Доказательство: 1) Отметим на луче \(AC\) точку \(D\) так, что \(BC = CD\). Соединим точки \(B\) и \(D\) (дополнительное построение). 2) \(\angle A = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\) (так как сумма углов треугольника равна \(180^\circ\) и \(\triangle ABC\) - прямоугольный). \(\triangle ABC = \triangle DBC\) (по двум сторонам и углу между ними). \(\angle CBD = \angle CBA\) (из п. 1). 3) \(\angle CBD + \angle CBA = 60^\circ\) (так как \(\angle ABC = 30^\circ\), и \(\angle CBD = \angle CBA = 30^\circ\)). 4) \(\angle D = \angle A = 60^\circ\) (из п. 2 и 3). \(AB = AD = BD\) (из п. 3 и 4). \(AC = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} AB\) (из п. 1 и 4). Теорема доказана. Развёрнутый ответ: 1. В условии дано, что у нас есть прямоугольный треугольник \(\triangle ABC\), где угол \(\angle ACB = 90^\circ\), а угол \(\angle ABC = 30^\circ\). Наша цель – доказать, что катет \(AC\), лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы \(AB\). 2. Первым шагом мы отмечаем на луче \(AC\) точку \(D\) так, чтобы \(BC = CD\). Это дополнительное построение позволяет нам создать равные отрезки и в дальнейшем использовать это для доказательства. 3. Далее, мы находим угол \(\angle A\), который равен \(90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\). Это следует из того, что сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\). 4. Теперь мы рассматриваем треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle DBC\). Они равны по двум сторонам и углу между ними (сторона \(BC\) общая, \(BC = CD\) по построению, и углы \(\angle ACB = \angle BCD = 90^\circ\)). 5. Из равенства треугольников следует, что \(\angle CBD = \angle CBA\). Так как \(\angle ABC = 30^\circ\), то и \(\angle CBD = 30^\circ\). 6. Таким образом, \(\angle CBD + \angle CBA = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ\). 7. Далее, мы выясняем, что \(\angle D = \angle A = 60^\circ\). Это следует из предыдущих шагов. 8. Теперь мы знаем, что \(AB = AD = BD\). Это означает, что треугольник \(\triangle ABD\) равносторонний, так как все его углы равны 60 градусам. 9. Наконец, мы можем утверждать, что \(AC = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} AB\). Это следует из того, что \(AD = 2AC\), так как точка \(C\) – середина отрезка \(AD\). Таким образом, мы доказали, что катет \(AC\), лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы \(AB\).