Решение задач из контрольной работы

Вариант 1

№1. Решение системы уравнений способом подстановки:

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x - y = 4, \\ x + y = 2. \end{cases} $$

Выразим x из первого уравнения:

$$ x = y + 4 $$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$$ (y + 4) + y = 2 $$

Решим уравнение относительно y:

$$ 2y + 4 = 2 \\ 2y = -2 \\ y = -1 $$

Теперь найдем x:

$$ x = y + 4 = -1 + 4 = 3 $$

Ответ: x = 3, y = -1

№1. Решение системы уравнений способом сложения:

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3x - 2y = 4, \\ 2x + 3y = 7. \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при y стали противоположными:

$$ \begin{cases} 9x - 6y = 12, \\ 4x + 6y = 14. \end{cases} $$

Сложим уравнения:

$$ (9x - 6y) + (4x + 6y) = 12 + 14 \\ 13x = 26 \\ x = 2 $$

Подставим x = 2 в первое уравнение исходной системы:

$$ 3(2) - 2y = 4 \\ 6 - 2y = 4 \\ -2y = -2 \\ y = 1 $$

Ответ: x = 2, y = 1

№2. Решение задачи:

Пусть x - вес гири, y - вес гантели.

Составим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 2x + 3y = 47, \\ x = 6y + 18. \end{cases} $$

Подставим выражение для x из второго уравнения в первое:

$$ 2(6y + 18) + 3y = 47 \\ 12y + 36 + 3y = 47 \\ 15y = 11 \\ y = \frac{11}{15} $$

Теперь найдем x:

$$ x = 6y + 18 = 6 \cdot \frac{11}{15} + 18 = \frac{22}{5} + 18 = \frac{22 + 90}{5} = \frac{112}{5} = 22.4 $$

Ответ: вес гири 22.4 кг, вес гантели 11/15 кг.

№3. Решение системы уравнений:

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 10 - 4(2x + 5) = 6y - 13, \\ 4y - 63 = 5(4x - 2y) + 2. \end{cases} $$

Упростим первое уравнение:

$$ 10 - 8x - 20 = 6y - 13 \\ -8x - 10 = 6y - 13 \\ -8x - 6y = -3 \\ 8x + 6y = 3 $$

Упростим второе уравнение:

$$ 4y - 63 = 20x - 10y + 2 \\ 14y - 20x = 65 \\ -20x + 14y = 65 $$

Получаем систему уравнений:

$$ \begin{cases} 8x + 6y = 3, \\ -20x + 14y = 65. \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на 10, а второе на 4:

$$ \begin{cases} 80x + 60y = 30, \\ -80x + 56y = 260. \end{cases} $$

Сложим уравнения:

$$ 116y = 290 \\ y = \frac{290}{116} = \frac{145}{58} = 2.5 $$

Подставим y в первое уравнение:

$$ 8x + 6(2.5) = 3 \\ 8x + 15 = 3 \\ 8x = -12 \\ x = -\frac{12}{8} = -\frac{3}{2} = -1.5 $$

Ответ: x = -1.5, y = 2.5

№4. Решение задачи:

Прямая задана уравнением y = kx + b. Нужно найти k и b.

Известно, что прямая проходит через точки A(1; -2) и B(-3; -10).

Подставим координаты точек в уравнение прямой:

$$ \begin{cases} -2 = k(1) + b, \\ -10 = k(-3) + b. \end{cases} $$ $$ \begin{cases} k + b = -2, \\ -3k + b = -10. \end{cases} $$

Вычтем из второго уравнения первое:

$$ (-3k + b) - (k + b) = -10 - (-2) \\ -4k = -8 \\ k = 2 $$

Подставим k = 2 в первое уравнение:

$$ 2 + b = -2 \\ b = -4 $$

Таким образом, уравнение прямой:

$$ y = 2x - 4 $$

Ответ: k = 2, b = -4, уравнение прямой: y = 2x - 4