Домашняя работа, № 2. 3. На доске написаны в строку 2005 целых чисел. Докажите, что одно из них можно перечеркнуть так, чтобы сумма оставшихся стала чётной. Верно ли это утверждение для 2006 чисел?

Для 2005 чисел утверждение верно. Если их сумма чётная, среди чисел есть хотя бы одно чётное: иначе все 2005 чисел были бы нечётными, и сумма была бы нечётной. Уберём чётное число — сумма оставшихся сохранит чётность и будет чётной.

Если сумма исходных чисел нечётная, среди них есть нечётное число. Уберём его: нечётная сумма минус нечётное число будет чётной.

Для 2006 чисел утверждение неверно. Например, если все числа равны 1, сумма любых 2005 оставшихся чисел будет нечётной. Значит, ни одно число нельзя убрать так, чтобы сумма оставшихся стала чётной.

Ответ: для 2005 чисел — верно; для 2006 чисел — неверно.