Домашняя работа. Задача 1: Моторная лодка прошла против течения реки 234 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Задача 2: Катер прошёл по течению реки 32 км, повернув обратно, он прошёл ещё 24 км, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 5 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение задачи 1: Пусть $$v$$ - скорость лодки в неподвижной воде (км/ч). Тогда скорость лодки против течения равна $$v - 4$$ км/ч, а скорость лодки по течению равна $$v + 4$$ км/ч. Время, затраченное на путь против течения, равно $$\frac{234}{v - 4}$$ часов, а время, затраченное на путь по течению, равно $$\frac{234}{v + 4}$$ часов. Из условия задачи известно, что время на обратный путь (по течению) на 4 часа меньше, чем на путь против течения. Следовательно, можно записать уравнение: \[\frac{234}{v - 4} - \frac{234}{v + 4} = 4\] Чтобы решить это уравнение, умножим обе части на $$(v - 4)(v + 4)$$: \[234(v + 4) - 234(v - 4) = 4(v^2 - 16)\] \[234v + 936 - 234v + 936 = 4v^2 - 64\] \[1872 = 4v^2 - 64\] \[4v^2 = 1936\] \[v^2 = 484\] \[v = \sqrt{484} = 22\] Таким образом, скорость лодки в неподвижной воде равна 22 км/ч. Ответ: 22 км/ч Решение задачи 2: Пусть $$v$$ - собственная скорость катера (км/ч). Тогда скорость катера по течению равна $$v + 5$$ км/ч, а скорость катера против течения равна $$v - 5$$ км/ч. Время, затраченное на путь по течению, равно $$\frac{32}{v + 5}$$ часов, а время, затраченное на путь против течения, равно $$\frac{24}{v - 5}$$ часов. Из условия задачи известно, что общее время в пути составляет 4 часа. Следовательно, можно записать уравнение: \[\frac{32}{v + 5} + \frac{24}{v - 5} = 4\] Чтобы решить это уравнение, умножим обе части на $$(v + 5)(v - 5)$$: \[32(v - 5) + 24(v + 5) = 4(v^2 - 25)\] \[32v - 160 + 24v + 120 = 4v^2 - 100\] \[56v - 40 = 4v^2 - 100\] \[4v^2 - 56v - 60 = 0\] Разделим обе части на 4: \[v^2 - 14v - 15 = 0\] Теперь решим квадратное уравнение. Дискриминант $$D = (-14)^2 - 4(1)(-15) = 196 + 60 = 256$$. Тогда корни уравнения: \[v_1 = \frac{14 + \sqrt{256}}{2} = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15\] \[v_2 = \frac{14 - \sqrt{256}}{2} = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1\] Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем $$v = 15$$ км/ч. Ответ: 15 км/ч