7. (Дополнительная задача). В равнобедренном треугольнике АВС к основанию АС проведена высота ВН. равная 6 см, точка М – середина боковой стороны ВС. Найдите отрезок МН, если ∠ABC = 120° 1. 12 см. 2. 6 см. 3. 24 см. 4. 3 см.

Для решения задачи необходимо воспользоваться свойствами равнобедренного треугольника и теоремой о медиане прямоугольного треугольника.

1. В равнобедренном треугольнике ABC, высота BH является также медианой и биссектрисой. ∠ABC = 120°, значит, ∠ABH = ∠CBH = 120°/2 = 60°.
2. Так как BH - высота, то ∠BHA = 90°. Значит, угол BAH = 180° - 90° - 60° = 30°.
3. Так как треугольник ABC равнобедренный, то AB = BC.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC. BH = 6 см. M - середина BC, значит BM = MC.
5. Проведём медиану HM к гипотенузе BC. В прямоугольном треугольнике BHC, медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Значит, HM = MC = BM.
6. ∠BCH = ∠BAH = 30°.
7. В прямоугольном треугольнике BHC, sin(∠BCH) = BH/BC. BC = BH/sin(30°) = 6/(1/2) = 12 см.
8. Так как M - середина BC, то BM = MC = BC/2 = 12/2 = 6 см.
9. Значит, HM = BM = MC = 6 см.

Ответ: 2. 6 см.