5. (Дополнительное задание). При каком значении р прямая у = -2х + р имеет с параболой у = х² + 2х ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки.

Для того чтобы найти значение параметра p, при котором прямая y = -2x + p имеет с параболой y = x² + 2x ровно одну общую точку, нужно решить уравнение:

$$x^2 + 2x = -2x + p$$

Приведём уравнение к виду квадратного:

$$x^2 + 4x - p = 0$$

Для того чтобы квадратное уравнение имело ровно одно решение, его дискриминант должен быть равен нулю:

$$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-p) = 16 + 4p = 0$$

Решим уравнение относительно p:

$$4p = -16$$

$$p = -4$$

При p = -4 прямая y = -2x - 4 имеет с параболой y = x² + 2x ровно одну общую точку.

Найдём координаты этой точки, подставив p = -4 в квадратное уравнение:

$$x^2 + 4x + 4 = 0$$

$$(x + 2)^2 = 0$$

$$x = -2$$

Подставим x = -2 в уравнение прямой:

$$y = -2 \cdot (-2) - 4 = 4 - 4 = 0$$

Ответ:

p = -4

Координаты точки касания: (-2, 0)