Решение задачи

а) Какое расстояние проедет первый автомобиль за 10 с?

Для нахождения расстояния, пройденного первым автомобилем за 10 с, необходимо вычислить интеграл от функции скорости $$v_{1x}(t) = 5 + 2t$$ в пределах от 0 до 10.

Путь, пройденный автомобилем, равен интегралу от скорости по времени:

$$S = int_{0}^{10} (5 + 2t) dt$$

Интегрируем функцию:

$$S = [5t + t^2]_{0}^{10}$$

Подставляем пределы интегрирования:

$$S = (5 cdot 10 + 10^2) - (5 cdot 0 + 0^2) = 50 + 100 = 150 ext{ м}$$

Ответ: Первый автомобиль проедет 150 метров за 10 секунд.

б) Чему равна проекция ускорения второго автомобиля, если через 10 с после начального момента скорость второго автомобиля в 2 раза больше скорости первого?

Сначала найдем скорость первого автомобиля через 10 с:

$$v_{1x}(10) = 5 + 2 cdot 10 = 5 + 20 = 25 ext{ м/с}$$

По условию, скорость второго автомобиля в этот момент в 2 раза больше:

$$v_{2x}(10) = 2 cdot v_{1x}(10) = 2 cdot 25 = 50 ext{ м/с}$$

Теперь найдем ускорение второго автомобиля, считая его движение равноускоренным:

Из формулы $$v = v_0 + at$$, где $$v_0$$ - начальная скорость, a - ускорение, t - время, выразим ускорение:

$$a = rac{v - v_0}{t} = rac{50 - 8}{10} = rac{42}{10} = 4.2 ext{ м/с}^2$$

Ответ: Проекция ускорения второго автомобиля равна 4.2 м/с².

в) Чему будет равно расстояние между автомобилями через 10 с после начального момента?

Мы уже знаем, что первый автомобиль проедет 150 м за 10 с. Теперь найдем, сколько проедет второй автомобиль за это время.

Путь, пройденный вторым автомобилем при равноускоренном движении:

$$S_2 = v_0t + rac{at^2}{2}$$

Подставляем известные значения:

$$S_2 = 8 cdot 10 + rac{4.2 cdot 10^2}{2} = 80 + rac{4.2 cdot 100}{2} = 80 + 210 = 290 ext{ м}$$

Расстояние между автомобилями через 10 с:

$$Delta S = S_2 - S_1 = 290 - 150 = 140 ext{ м}$$

Ответ: Расстояние между автомобилями через 10 секунд будет равно 140 метров.