9. Два гонщика участвуют в гонках на 40 кругов по кольцевой трассе длиной 5 км. Оба стартовали одновременно, а финиш первый гонщик пересек на 20 минут раньше второго. Известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 15 минут после старта. Найдите среднюю скорость первого гонщика. Ответ дайте в км/ч.

Шаг 1: Определим общее расстояние трассы.

Общая длина трассы составляет 40 кругов по 5 км каждый:

\[ S_{общая} = 40 \cdot 5 = 200 \ \text{ км} \]

Шаг 2: Определим время финиша первого гонщика.

Пусть \( t_1 \) — время финиша первого гонщика, а \( t_2 \) — время финиша второго гонщика. Известно, что \( t_2 = t_1 + \frac{20}{60} = t_1 + \frac{1}{3} \) часа. Также известно, что первый гонщик обогнал второго на круг через 15 минут, то есть \( \frac{1}{4} \) часа.

Шаг 3: Определим скорость первого гонщика.

Пусть \( V_1 \) — скорость первого гонщика, а \( V_2 \) — скорость второго гонщика. Из условия обгона на круг за 15 минут имеем:

\[ V_1 \cdot \frac{1}{4} - V_2 \cdot \frac{1}{4} = 5 \] \[ V_1 - V_2 = 20 \ \text{ км/ч} \]

Также известно, что

\[ V_1 = \frac{200}{t_1}, \ V_2 = \frac{200}{t_1 + \frac{1}{3}} \]

Шаг 4: Решим систему уравнений.

Подставим выражения для скоростей в уравнение разницы скоростей:

\[ \frac{200}{t_1} - \frac{200}{t_1 + \frac{1}{3}} = 20 \]

Разделим обе части на 20:

\[ \frac{10}{t_1} - \frac{10}{t_1 + \frac{1}{3}} = 1 \]

Умножим обе части на \( t_1(t_1 + \frac{1}{3}) \):

\[ 10(t_1 + \frac{1}{3}) - 10t_1 = t_1(t_1 + \frac{1}{3}) \] \[ 10t_1 + \frac{10}{3} - 10t_1 = t_1^2 + \frac{1}{3}t_1 \] \[ t_1^2 + \frac{1}{3}t_1 - \frac{10}{3} = 0 \]

Умножим на 3:

\[ 3t_1^2 + t_1 - 10 = 0 \]

Шаг 5: Решим квадратное уравнение.

Решим квадратное уравнение:

\[ t_1 = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10)}}{2 \cdot 3} \] \[ t_1 = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 120}}{6} \] \[ t_1 = \frac{-1 \pm \sqrt{121}}{6} \] \[ t_1 = \frac{-1 \pm 11}{6} \]

Получаем два возможных значения для \( t_1 \):

\[ t_{1,1} = \frac{-1 + 11}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \ \text{ часа} \] \[ t_{1,2} = \frac{-1 - 11}{6} = \frac{-12}{6} = -2 \ \text{ часа} \]

Время не может быть отрицательным, значит, \( t_1 = \frac{5}{3} \) часа.

Шаг 6: Найдем скорость первого гонщика. \[ V_1 = \frac{200}{t_1} = \frac{200}{\frac{5}{3}} = 200 \cdot \frac{3}{5} = 40 \cdot 3 = 120 \ \text{ км/ч} \]