Два каменщика укладывают плиткой два одинаковых участка мостовой, каждый площадью 420 м². Первый каменщик в день укладывает на 7 м² плитки больше, чем второй, и выполняет всю работу на 5 дней быстрее. Сколько квадратных метров плитки укладывает в день первый каменщик? Запишите решение и ответ.

Пусть $x$ м² плитки укладывает в день первый каменщик. Тогда второй каменщик укладывает $(x-7)$ м² плитки в день. Время, которое тратит первый каменщик на укладку участка, равно $\frac{420}{x}$ дней, а время, которое тратит второй каменщик, равно $\frac{420}{x-7}$ дней. По условию, первый каменщик выполняет работу на 5 дней быстрее, чем второй. Следовательно, разница во времени составляет 5 дней: $\frac{420}{x-7} - \frac{420}{x} = 5$ Умножим обе части уравнения на $x(x-7)$ для избавления от знаменателей: $420x - 420(x-7) = 5x(x-7)$ $420x - 420x + 2940 = 5x^2 - 35x$ $5x^2 - 35x - 2940 = 0$ Разделим обе части на 5: $x^2 - 7x - 588 = 0$ Решим квадратное уравнение $x^2 - 7x - 588 = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(1)(-588) = 49 + 2352 = 2401$. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{2401} = 49$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 49}{2} = \frac{56}{2} = 28$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 49}{2} = \frac{-42}{2} = -21$ Так как количество плитки, укладываемой в день, не может быть отрицательным, то $x = 28$. Таким образом, первый каменщик укладывает в день 28 м² плитки. Ответ: 28