Два маляра, работая вместе, могут покрасить офис за 20 часов. Если сначала ровно половину офиса покрасит один маляр, а затем вторую половину другой, то на покраску потребуется 45 часов. За какое время мог бы покрасить офис каждый маляр в отдельности?

Здравствуйте, ребята! Давайте решим эту интересную задачу. Условие задачи: Два маляра, работая вместе, красят офис за 20 часов. Если первый маляр покрасит половину офиса, а затем второй маляр покрасит вторую половину, то на покраску потребуется 45 часов. Нужно найти, за какое время каждый маляр покрасит офис в одиночку. Решение: Обозначим время, за которое первый маляр красит офис, как (x) часов, а время, за которое второй маляр красит офис, как (y) часов. 1. Скорость работы каждого маляра: * Первый маляр красит (\frac{1}{x}) часть офиса в час. * Второй маляр красит (\frac{1}{y}) часть офиса в час. 2. Совместная работа: Вместе они красят (\frac{1}{20}) часть офиса в час. Значит: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{20} \] 3. Работа по очереди: Первый маляр красит половину офиса за (\frac{x}{2}) часов, а второй маляр красит половину офиса за (\frac{y}{2}) часов. Вместе это занимает 45 часов. Значит: \[ \frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 45 \] Умножим обе части уравнения на 2: \[ x + y = 90 \] 4. Решение системы уравнений: Теперь у нас есть система из двух уравнений: \[ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{20} \\ x + y = 90 \end{cases} \] Выразим (y) из второго уравнения: \[ y = 90 - x \] Подставим это в первое уравнение: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{90 - x} = \frac{1}{20} \] Приведём к общему знаменателю: \[ \frac{90 - x + x}{x(90 - x)} = \frac{1}{20} \] \[ \frac{90}{x(90 - x)} = \frac{1}{20} \] \[ x(90 - x) = 90 \cdot 20 \] \[ 90x - x^2 = 1800 \] \[ x^2 - 90x + 1800 = 0 \] 5. Решение квадратного уравнения: Решаем квадратное уравнение: \[ x^2 - 90x + 1800 = 0 \] Находим дискриминант: \[ D = (-90)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1800 = 8100 - 7200 = 900 \] Находим корни: \[ x_1 = \frac{90 + \sqrt{900}}{2} = \frac{90 + 30}{2} = \frac{120}{2} = 60 \] \[ x_2 = \frac{90 - \sqrt{900}}{2} = \frac{90 - 30}{2} = \frac{60}{2} = 30 \] 6. Находим значения (y): * Если (x = 60), то (y = 90 - 60 = 30). * Если (x = 30), то (y = 90 - 30 = 60). Ответ: Получается, что один маляр может покрасить офис за 30 часов, а другой - за 60 часов. Развернутый ответ: Итак, у нас было два маляра, и нам было известно, сколько времени они тратят на покраску офиса вместе и по отдельности, когда каждый красит половину офиса. Чтобы решить эту задачу, мы ввели переменные для времени, которое каждый маляр тратит на покраску всего офиса. Затем составили систему уравнений, используя информацию о совместной работе и работе по очереди. Решив эту систему, мы нашли два возможных значения для времени, которое каждый маляр тратит на покраску офиса: 30 и 60 часов. Это означает, что один маляр, работая быстрее, покрасит офис за 30 часов, а другой, работая медленнее, покрасит офис за 60 часов. Надеюсь, теперь вам стало понятнее, как решать такие задачи!