Две девочки массами m₁ = 30 кг и m₂ = 35 кг сидят на концах доски длиной L = 6 м и массой M = 25 кг. Доска находится в равновесии. Определите положение её точки опоры. Чему равна сила реакции опоры, действующая на доску?

Для решения данной задачи воспользуемся правилом моментов и условием равновесия сил.

1. Определение сил, действующих на доску:

• Сила тяжести первой девочки: $$P_1 = m_1 cdot g = 30 ext{ кг} cdot g$$.
• Сила тяжести второй девочки: $$P_2 = m_2 cdot g = 35 ext{ кг} cdot g$$.
• Сила тяжести доски: $$P_M = M cdot g = 25 ext{ кг} cdot g$$.
• Сила реакции опоры: $$N$$.

где $$g$$ – ускорение свободного падения (приближенно $$9.8 rac{ ext{м}}{ ext{с}^2}$$).

2. Определение положения точки опоры:

Пусть точка опоры находится на расстоянии $$x$$ от первого конца доски (где сидит первая девочка). Тогда расстояние от точки опоры до второго конца доски будет $$L - x$$. Также предположим, что центр масс доски находится посередине доски, то есть на расстоянии $$\frac{L}{2}$$ от каждого конца.

Для равновесия доски необходимо, чтобы сумма моментов сил относительно точки опоры была равна нулю. Момент силы – это произведение силы на плечо (расстояние от точки опоры до линии действия силы). Поэтому:

$$P_1 cdot x + P_M \cdot (x - \frac{L}{2}) = P_2 \cdot (L - x)$$.

Подставим известные значения:

$$m_1 g cdot x + M g \cdot (x - \frac{L}{2}) = m_2 g \cdot (L - x)$$.

Разделим обе части уравнения на $$g$$:

$$m_1 cdot x + M \cdot (x - \frac{L}{2}) = m_2 \cdot (L - x)$$.

Подставим числовые значения:

$$30x + 25(x - \frac{6}{2}) = 35(6 - x)$$.

$$30x + 25x - 25 \cdot 3 = 210 - 35x$$.

$$55x - 75 = 210 - 35x$$.

$$90x = 285$$.

$$x = \frac{285}{90} = \frac{19}{6} \approx 3.17 \text{ м}$$.

То есть точка опоры находится на расстоянии примерно 3.17 м от конца доски, где сидит первая девочка.

3. Определение силы реакции опоры:

Для равновесия доски также необходимо, чтобы сумма всех сил, действующих на доску, была равна нулю (в проекции на вертикальную ось):

$$N - P_1 - P_2 - P_M = 0$$.

$$N = P_1 + P_2 + P_M = m_1 g + m_2 g + M g = (m_1 + m_2 + M)g$$.

$$N = (30 + 35 + 25)g = 90g = 90 \cdot 9.8 = 882 \text{ Н}$$.

Ответ:

• Положение точки опоры: 3.17 м от конца доски, где сидит первая девочка.
• Сила реакции опоры: 882 Н.