Две окружности касаются внешним образом в точке А. Одна прямая касается их в точках В и С. Найдите угол ВАС. Ответ дайте в градусах.

Пусть $$O_1$$ и $$O_2$$ - центры окружностей, касающихся в точке A. Прямая BC является общей касательной к обеим окружностям в точках B и C соответственно. 1. Проведём радиусы $$O_1B$$ и $$O_2C$$. Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то $$O_1B \perp BC$$ и $$O_2C \perp BC$$. Следовательно, $$O_1B \parallel O_2C$$. 2. Проведём прямую $$O_1A$$ и $$O_2A$$. Так как окружности касаются в точке A, то точки $$O_1$$, $$A$$ и $$O_2$$ лежат на одной прямой. 3. Рассмотрим трапецию $$O_1BCO_2$$. Пусть $$O_1B = r_1$$ и $$O_2C = r_2$$. Проведём высоту $$O_1H$$ из точки $$O_1$$ к $$O_2C$$. Тогда $$O_1H = BC$$, $$O_2H = |r_2 - r_1|$$. 4. Рассмотрим треугольник $$O_1AO_2$$. $$\angle O_1BA = 90^{\circ}$$ и $$\angle O_2CA = 90^{\circ}$$. Треугольники $$O_1BA$$ и $$O_2CA$$ прямоугольные. $$\angle O_1AB = \angle O_2AC$$ как вертикальные. $$\angle ABO_1 = 90^{\circ}$$, $$\angle ACO_2 = 90^{\circ}$$. Значит, $$\triangle O_1BA \sim \triangle O_2CA$$ по двум углам. $$\Rightarrow \frac{O_1B}{O_2C} = \frac{r_1}{r_2} = \frac{BA}{AC}$$ $$\Rightarrow \frac{BA}{AC} = \frac{r_1}{r_2}$$ 5. Пусть $$r_1 = r_2$$. Тогда $$BA = AC$$, $$\triangle BAC$$ - равнобедренный. $$\angle O_1 = \angle O_2 = 90^{\circ}$$. \angle O_1BO_2 = 90^{\circ}$$ и $$\angle O_2CO_1 = 90^{\circ}$$. Сумма углов четырёхугольника равна 360 градусов. $$\angle O_1 + \angle B + \angle C + \angle O_2 = 360^{\circ}$$. Пусть \angle BAC = x. $$\angle ABC = \angle ACB = (180 - x) / 2$$. 6. Так как $$O_1B \parallel O_2C$$ и $$O_1A$$ пересекает обе прямые, то $$\angle BO_1A = \angle CAO_2$$. 7. $$\angle O_1BA = 90^{\circ}$$ и $$\angle O_2CA = 90^{\circ}$$. Тогда $$O_1B \perp BC$$ и $$O_2C \perp BC$$. Следовательно, $$O_1B \parallel O_2C$$. $$\angle O_1BA = \angle O_1BC = 90^{\circ}$$ и $$\angle O_2CA = \angle O_2CB = 90^{\circ}$$. $$\triangle O_1AB$$ и $$\triangle O_2AC$$ равнобедренные. $$\angle O_1AB = \angle O_1BA = \alpha$$. $$\angle O_2AC = \angle O_2CA = \beta$$. $$\angle BAC = 180 - (\alpha + \beta)$$. $$\angle ABC = \alpha$$, $$\angle ACB = \beta$$. \angle BAC = x = 90^{\circ}. Ответ: 90