797 Две окружности радиусов r и R касаются внешним образом в точке А. К ним проведена общая внешняя касательная МК. а) Докажите, что ∠КАМ = 90°; б) найдите длину отрезка МК.

а) Доказательство ∠КАМ = 90°:

Пусть O₁ и O₂ - центры окружностей радиусов r и R соответственно. Проведем радиусы O₁K и O₂M к точкам касания K и M. Углы O₁KA и O₂MA прямые, так как радиусы, проведенные в точку касания, перпендикулярны касательной.

Проведем прямую O₁X параллельно MK, где X лежит на O₂M. Тогда O₁KX = 90° и O₁XO₂ = 90°. В прямоугольном треугольнике O₁XO₂ имеем: O₁O₂ = r + R.

∠KO₁A = α и ∠MO₂A = β. Тогда ∠KO₁O₂ = α/2 и ∠MO₂O₁ = β/2. Поскольку ∠O₁KO₂ = 90° и ∠O₂MO₁ = 90°, то ∠KO₁A + ∠MO₂A = 180°. Следовательно, α + β = 180°.

Угол KAM = (180 - α)/2 + (180 - β)/2 = 90 - α/2 + 90 - β/2 = 180 - (α + β)/2 = 180 - 180/2 = 180 - 90 = 90°.

б) Найдем длину отрезка МК:

В прямоугольнике O₁KXM имеем: O₁K = MX = r. Тогда O₂X = R - r. В прямоугольном треугольнике O₁XO₂ имеем: O₁O₂ = r + R.

По теореме Пифагора: $$O_1X^2 + O_2X^2 = O_1O_2^2$$. Следовательно, $$MK^2 + (R - r)^2 = (R + r)^2$$.
$$MK^2 = (R + r)^2 - (R - r)^2 = R^2 + 2Rr + r^2 - (R^2 - 2Rr + r^2) = 4Rr$$.
$$MK = \sqrt{4Rr} = 2\sqrt{Rr}$$.

Ответ: MK = 2√(Rr)