Две окружности вписаны в два смежных угла 120° и 60°. Радиус большей окружности равен 6. Найдите расстояние между центрами окружностей, если известно, что окружности имеют общую точку.

Пусть даны два смежных угла, в которые вписаны две окружности. Обозначим величины этих углов как \(\alpha = 120^\circ\) и \(\beta = 60^\circ\). Радиус большей окружности равен \(R = 6\). Нужно найти расстояние между центрами этих окружностей, если известно, что окружности имеют общую точку. Поскольку окружности имеют общую точку и вписаны в смежные углы, то эта точка должна лежать на стороне, разделяющей эти углы. Пусть \(O_1\) и \(O_2\) - центры окружностей, вписанных в углы \(\alpha\) и \(\beta\) соответственно, а \(r\) - радиус меньшей окружности. Заметим, что углы, которые образуют центры окружностей с вершиной смежных углов, равны половинам величин этих углов, т.е. \(\frac{\alpha}{2} = 60^\circ\) и \(\frac{\beta}{2} = 30^\circ\). Расстояние от вершины смежных углов до центра большей окружности равно \(\frac{R}{\sin(\alpha/2)} = \frac{6}{\sin(60^\circ)} = \frac{6}{\sqrt{3}/2} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}\). Аналогично, расстояние от вершины смежных углов до центра меньшей окружности равно \(\frac{r}{\sin(\beta/2)} = \frac{r}{\sin(30^\circ)} = \frac{r}{1/2} = 2r\). Поскольку окружности касаются, то расстояние между их центрами равно сумме их радиусов, т.е. \(O_1O_2 = R + r = 6 + r\). Рассмотрим треугольник, образованный вершиной смежных углов и центрами окружностей. Угол при вершине смежных углов равен \(180^\circ\), так как углы смежные. Тогда по теореме косинусов: \((6+r)^2 = (4\sqrt{3})^2 + (2r)^2 - 2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot 2r \cdot \cos(180^\circ - 90^\circ)\) Учитывая, что \(\cos(90^\circ) = 0\), получаем: \((6+r)^2 = (4\sqrt{3})^2 + (2r)^2\) \(36 + 12r + r^2 = 48 + 4r^2\) \(3r^2 - 12r + 12 = 0\) \(r^2 - 4r + 4 = 0\) \((r-2)^2 = 0\) \(r = 2\) Тогда расстояние между центрами окружностей равно \(6 + r = 6 + 2 = 8\). Ответ: 8