3. Две плоскости параллельны между собой. Из точки М, не лежащей ни в одной из этих плоскостей, ни между плоскостями, проведены две прямые, пересекающие эти плоскости соответственно в точках А, и А2, В1 и В2. Известно, что МА, 4 см, В,В2-9 см, А1А2 - МВ. Найдите МА2 и МВ2.

3. Дано: α || β, M ∉ α, M ∉ β, M ∉ между α и β, А₁ ∈ α, А₂ ∈ β, В₁ ∈ α, В₂ ∈ β, МА₁ = 4 см, В₁В₂ = 9 см, А₁А₂ = МВ₁.

Найти: МА₂ и МВ₂.

Решение:

1) Рассмотрим треугольники МА₁В₁ и МА₂В₂.

$$\text{Угол М общий у обоих треугольников.}$$

$$\text{Т.к. α || β, то А₁В₁ || А₂В₂ (как линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью)}$$

$$\text{Следовательно, треугольник МА₁В₁ подобен треугольнику МА₂В₂ (по двум углам).}$$

2) Из подобия треугольников следует:

$$\frac{MA_1}{MA_2} = \frac{MB_1}{MB_2} = \frac{A_1B_1}{A_2B_2}$$

3) Пусть МА₂ = х, тогда МВ₁ = А₁А₂ = х - 4.

4) МВ₂ = МВ₁ + В₁В₂ = х - 4 + 9 = х + 5.

5) Подставим в пропорцию:

$$\frac{4}{x} = \frac{x-4}{x+5}$$

$$\text{Умножим крест на крест:}$$

4(х + 5) = х(х - 4)

4х + 20 = х² - 4х

х² - 8х - 20 = 0

D = (-8)² - 4 * 1 * (-20) = 64 + 80 = 144

$$\sqrt{D}$$ = 12

x₁ = (8 + 12) / 2 = 10

x₂ = (8 - 12) / 2 = -2 (не подходит, т.к. длина не может быть отрицательной)

Следовательно, МА₂ = 10 см.

МВ₂ = х + 5 = 10 + 5 = 15 см.

Ответ: МА₂ = 10 см, МВ₂ = 15 см.