Две прямые, параллельные основаниям трапеции, делят каждую из боковых сторон на три равные части. (То есть вся трапеция разделена данными прямыми на три части.) Найдите площадь средней части, если площади крайних P и T.

Решение:

Пусть данная трапеция разделена на три трапеции с площадями \( P, S, T \), где \( P \) — площадь нижней (большей) трапеции, \( S \) — площадь средней трапеции, \( T \) — площадь верхней (меньшей) трапеции.

Пусть основания трапеции равны \( a \) (большее) и \( c \) (меньшее). Пусть высота всей трапеции равна \( H \). Тогда высота каждой из трех меньших трапеций равна \( \frac{H}{3} \).

Пусть среднее основание (верхнее основание средней трапеции и нижнее основание верхней трапеции) равно \( b \).

Площади трапеций выражаются формулами:

• \( T = \frac{1}{2} (b+c) \frac{H}{3} \)
• \( S = \frac{1}{2} (a+b) \frac{H}{3} \)
• \( P = \frac{1}{2} (a+b) \frac{H}{3} \)

Из условия, прямые делят боковые стороны на три равные части. Это означает, что основания трапеций образуют арифметическую прогрессию: \( c, b, a \) — члены арифметической прогрессии.

Следовательно, \( b = \frac{a+c}{2} \).

Выразим площади через \( a, c \) и \( H \):

• \( T = \frac{1}{2} (\frac{a+c}{2} + c) \frac{H}{3} = \frac{1}{2} (\frac{a+3c}{2}) \frac{H}{3} = \frac{a+3c}{12} H \)
• \( S = \frac{1}{2} (a + \frac{a+c}{2}) \frac{H}{3} = \frac{1}{2} (\frac{3a+c}{2}) \frac{H}{3} = \frac{3a+c}{12} H \)
• \( P = \frac{1}{2} (a+b) \frac{H}{3} = \frac{3a+c}{12} H \)

Заметим, что \( S = P \). Это не соответствует условию. Переформулируем условие.

Пусть основания трапеций равны \( x_1, x_2, x_3, x_4 \), где \( x_1 \) — верхнее основание, \( x_4 \) — нижнее основание. Прямые делят боковые стороны на три равные части, значит, \( x_1, x_2, x_3, x_4 \) образуют арифметическую прогрессию.

Пусть \( x_1 = c \) (верхнее основание всей трапеции), \( x_4 = a \) (нижнее основание всей трапеции).

\( x_2 = \frac{2c+a}{3} \) (верхнее основание средней трапеции).

\( x_3 = \frac{c+2a}{3} \) (нижнее основание средней трапеции).

Площади трапеций:

• \( T = \frac{1}{2} (x_1 + x_2) \frac{H}{3} = \frac{1}{2} (c + \frac{2c+a}{3}) \frac{H}{3} = \frac{1}{2} (\frac{3c+2c+a}{3}) \frac{H}{3} = \frac{5c+a}{6} \frac{H}{3} = \frac{5c+a}{18} H \)
• \( S = \frac{1}{2} (x_2 + x_3) \frac{H}{3} = \frac{1}{2} (\frac{2c+a}{3} + \frac{c+2a}{3}) \frac{H}{3} = \frac{1}{2} (\frac{3c+3a}{3}) \frac{H}{3} = \frac{1}{2} (c+a) \frac{H}{3} = \frac{a+c}{6} H \)
• \( P = \frac{1}{2} (x_3 + x_4) \frac{H}{3} = \frac{1}{2} (\frac{c+2a}{3} + a) \frac{H}{3} = \frac{1}{2} (\frac{c+2a+3a}{3}) \frac{H}{3} = \frac{c+5a}{6} \frac{H}{3} = \frac{c+5a}{18} H \)

Теперь найдем соотношения между площадями. Пусть \( H = 18 \) для простоты.

• \( T = 5c+a \)
• \( S = 3(a+c) = 3a+3c \)
• \( P = c+5a \)

Задачу просят найти \( S \) через \( P \) и \( T \).

\( T = a + 5c \)

Ответ: \( S = \frac{P+T}{2} \)