Две стороны треугольника равны 7 см и 8 см, а синус угла между ними равен $$ \frac{4\sqrt{3}}{7}$$. Найдите третью сторону треугольника.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой косинусов, которая связывает длины сторон треугольника и косинус одного из его углов. Пусть $$a$$ и $$b$$ — известные стороны треугольника, $$γ$$ — угол между ними, а $$c$$ — третья сторона, которую нам нужно найти. Тогда теорема косинусов утверждает:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(γ)$$

У нас есть $$a = 7$$ см, $$b = 8$$ см и $$ \sin(γ) = \frac{4\sqrt{3}}{7}$$. Чтобы найти косинус угла $$γ$$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $$ \sin^2(γ) + \cos^2(γ) = 1$$. Подставим известное значение синуса:

$$\cos^2(γ) = 1 - \sin^2(γ) = 1 - \left( \frac{4\sqrt{3}}{7} \right)^2 = 1 - \frac{16 \cdot 3}{49} = 1 - \frac{48}{49} = \frac{1}{49}$$

Тогда, $$ \cos(γ) = \pm \sqrt{\frac{1}{49}} = \pm \frac{1}{7}$$. Имеем два возможных значения для косинуса, следовательно, и две возможности для третьей стороны треугольника. Рассмотрим оба случая:

Случай 1: $$ \cos(γ) = \frac{1}{7}$$

$$c^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \frac{1}{7} = 49 + 64 - 16 = 97$$ $$c = \sqrt{97} ≈ 9.85 \text{ см}$$

Случай 2: $$ \cos(γ) = -\frac{1}{7}$$

$$c^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \left(-\frac{1}{7}\right) = 49 + 64 + 16 = 129$$ $$c = \sqrt{129} ≈ 11.36 \text{ см}$$

Таким образом, третья сторона треугольника может быть либо $$ \sqrt{97}$$ см, либо $$\sqrt{129}$$ см.

Ответ: Третья сторона треугольника равна $$\sqrt{97}$$ см или $$\sqrt{129}$$ см.