Две стороны треугольника равны 10 см и 12 см, а угол между ними – 60°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

Обозначим стороны треугольника как a = 10 см и b = 12 см, а угол между ними как γ = 60°. Найдем третью сторону c по теореме косинусов: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos γ$$. Подставим известные значения: $$c^2 = 10^2 + 12^2 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot cos 60° = 100 + 144 - 240 \cdot \frac{1}{2} = 244 - 120 = 124$$. $$c = \sqrt{124} = 2\sqrt{31}$$. Теперь найдем площадь треугольника: $$S = \frac{1}{2}ab \cdot sin γ = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot sin 60° = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3}$$.

Ответ: Третья сторона равна $$2\sqrt{31}$$ см, площадь равна $$30\sqrt{3}$$ см².