Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Дві сторони трикутника дорівнюють 5 см і 8 см, а кут між ними 60°. Знайдіть радіус кола, описаного навколо даного трикутника.
Ответ:
Розв'яжемо цю задачу, використовуючи теорему косинусів і формулу для радіуса описаного кола.
- Знайдемо третю сторону трикутника (c) за теоремою косинусів:
Теорема косинусів стверджує, що для трикутника зі сторонами a, b, c і кутом γ між сторонами a і b, виконується рівність:
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)$$В нашому випадку a = 5 см, b = 8 см, γ = 60°. Тоді:
$$c^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ)$$Оскільки $$\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$$, то:
$$c^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 89 - 40 = 49$$Отже, $$ c = \sqrt{49} = 7$$ см.
- Знайдемо радіус описаного кола (R) за теоремою синусів:
Теорема синусів стверджує, що для трикутника зі сторонами a, b, c, протилежними кутами α, β, γ, і радіусом описаного кола R, виконується рівність:
$$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)} = 2R$$Звідси, ми можемо виразити радіус R через сторону c і синус протилежного кута γ:
$$R = \frac{c}{2 \cdot \sin(\gamma)}$$В нашому випадку c = 7 см, γ = 60°. Тоді:
$$R = \frac{7}{2 \cdot \sin(60^\circ)}$$Оскільки $$\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$, то:
$$R = \frac{7}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{7}{\sqrt{3}}$$Позбавимося від ірраціональності в знаменнику, помноживши чисельник і знаменник на $$\sqrt{3}$$:
$$R = \frac{7\sqrt{3}}{3}$$ см.
Відповідь: Радіус кола, описаного навколо даного трикутника, дорівнює $$\frac{7\sqrt{3}}{3}$$ см.
Похожие
