Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу каждый рабочий, если первый рабочий сделает это на 10 дней быстрее, чем второй?

Пусть первый рабочий выполняет работу за $$x$$ дней, тогда второй рабочий выполняет работу за $$x + 10$$ дней. Вместе они выполняют работу за 12 дней. Производительность первого рабочего $$\frac{1}{x}$$, производительность второго рабочего $$\frac{1}{x+10}$$. Их совместная производительность равна сумме их производительностей: $$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+10} = \frac{1}{12}$$ Умножим обе части уравнения на $$12x(x+10)$$, чтобы избавиться от знаменателей: $$12(x+10) + 12x = x(x+10)$$ $$12x + 120 + 12x = x^2 + 10x$$ $$24x + 120 = x^2 + 10x$$ Перенесем все в правую часть: $$x^2 + 10x - 24x - 120 = 0$$ $$x^2 - 14x - 120 = 0$$ Решаем квадратное уравнение: $$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4(1)(-120) = 196 + 480 = 676$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + 26}{2} = \frac{40}{2} = 20$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - 26}{2} = \frac{-12}{2} = -6$$ Так как время не может быть отрицательным, берем $$x = 20$$. Значит, первый рабочий выполняет работу за 20 дней, а второй за $$20 + 10 = 30$$ дней. Ответ: Первый рабочий – за 20 дней; Второй рабочий – за 30 дней.