Д/З из МЭШ по задачам на вероятность. Ниже фото самих задач. Необходимо повторить решение.

Решения задач на вероятность: №1. Агрофирма закупает куриные яйца только в двух домашних хозяйствах. Известно, что 5% яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а из второго хозяйства – 30% яиц высшей категории. В этой агрофирме 15% яиц высшей категории. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства. (Ответ: 0,6) Решение:

Пусть x – доля яиц, закупаемых у первого хозяйства. Тогда доля яиц, закупаемых у второго хозяйства, равна 1 - x.

Общая доля яиц высшей категории составляет:

$$0.05x + 0.3(1 - x) = 0.15$$

Решаем уравнение:

$$0.05x + 0.3 - 0.3x = 0.15$$ $$-0.25x = -0.15$$ $$x = 0.6$$

Таким образом, вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства, равна 0,6.

№2. Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя чётными цифрами? (Ответ: 0,25) Решение:

Чётные цифры: 0, 2, 4, 6, 8. Всего 5 вариантов.

Вероятность того, что последняя цифра чётная: $$\frac{5}{10} = 0.5$$

Вероятность того, что предпоследняя цифра чётная: $$\frac{5}{10} = 0.5$$

Вероятность того, что телефонный номер оканчивается двумя чётными цифрами: $$0.5 \cdot 0.5 = 0.25$$

Ответ: 0,25

№3. Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза (Ответ: 0,156) Решение:

Вероятность выигрыша А в первой партии белыми: 0,52

Вероятность выигрыша А во второй партии черными: 0,3

Вероятность того, что А выиграет обе партии: $$0.52 \cdot 0.3 = 0.156$$

Ответ: 0,156

№5. Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,8 °С, равна 0,81. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 °С или выше. (Ответ: 0,19) Решение:

Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

Вероятность того, что температура будет 36,8 °С или выше: $$1 - 0.81 = 0.19$$

Ответ: 0,19

№6. При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм. (Ответ: 0,035) Решение:

Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

Вероятность того, что диаметр будет меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм: $$1 - 0.965 = 0.035$$

Ответ: 0,035

№7. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными. (Ответ: 0,8836) Решение:

Вероятность того, что батарейка исправна: $$1 - 0.06 = 0.94$$

Вероятность того, что обе батарейки исправны: $$0.94 \cdot 0.94 = 0.8836$$

Ответ: 0,8836

№8. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга). (Ответ: 0,027) Решение:

Вероятность того, что все три продавца заняты: $$0.3 \cdot 0.3 \cdot 0.3 = 0.027$$

Ответ: 0,027

№10. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года. (Ответ: 0,08) Решение:

Вероятность того, что чайник прослужит меньше двух лет, но больше года: $$0.97 - 0.89 = 0.08$$

Ответ: 0,08

№12. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 18 пассажиров, равна 0,82. Вероятность того, что окажется меньше 10 пассажиров, равна 0,51. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 10 до 17. (Ответ: 0,31) Решение:

Вероятность того, что число пассажиров будет от 10 до 17: $$0.82 - 0.51 = 0.31$$

Ответ: 0,31

№13. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых. (Ответ: 0,02) Решение:

Вероятность попадания: 0,8

Вероятность промаха: $$1 - 0.8 = 0.2$$

Вероятность того, что первые три раза попал, а последние два промахнулся: $$0.8 \cdot 0.8 \cdot 0.8 \cdot 0.2 \cdot 0.2 = 0.02048 \approx 0.02$$

Ответ: 0,02

№14. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит. (Ответ: 0,91) Решение:

Вероятность того, что лампа не перегорит: $$1 - 0.3 = 0.7$$

Вероятность того, что обе лампы перегорят: $$0.3 \cdot 0.3 = 0.09$$

Вероятность того, что хотя бы одна лампа не перегорит: $$1 - 0.09 = 0.91$$

Ответ: 0,91

№15. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем – 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98? В ответе укажите наименьшее необходимое количество выстрелов. (Ответ: 5) Решение:

Вероятность уничтожения цели после первого выстрела: 0,4

Вероятность не уничтожения цели после первого выстрела: $$1 - 0.4 = 0.6$$

Вероятность уничтожения цели после второго выстрела: $$0.6 \cdot 0.6 = 0.36$$

Вероятность не уничтожения цели после второго выстрела: $$0.6 \cdot (1 - 0.6) = 0.24$$

Вероятность уничтожения цели после первого и второго выстрела: $$0.4 + 0.36 = 0.76$$

После третьего выстрела: $$0.76 + (0.24 \cdot 0.6) = 0.76 + 0.144 = 0.904$$

После четвертого выстрела: $$0.904 + ((1 - 0.904) \cdot 0.6) = 0.904 + (0.096 \cdot 0.6) = 0.904 + 0.0576 = 0.9616$$

После пятого выстрела: $$0.9616 + ((1 - 0.9616) \cdot 0.6) = 0.9616 + (0.0384 \cdot 0.6) = 0.9616 + 0.02304 = 0.98464$$

Ответ: 5

№16. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. (Ответ: 0,35) Решение:

Вероятность того, что попадется вопрос по одной из двух тем: $$0.2 + 0.15 = 0.35$$

Ответ: 0,35

№17. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей – 1 очко, если проигрывает – 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4. (Ответ: 0,32) Решение:

Команде нужно набрать хотя бы 4 очка. Это возможно в следующих случаях:

• Выиграть обе игры (3 + 3 = 6 очков)
• Выиграть одну игру и сыграть вничью (3 + 1 = 4 очка)

Вероятность выигрыша: 0,4

Вероятность ничьей: $$1 - 0.4 - 0.4 = 0.2$$

Вероятность выигрыша в обеих играх: $$0.4 \cdot 0.4 = 0.16$$

Вероятность выигрыша в первой и ничьей во второй: $$0.4 \cdot 0.2 = 0.08$$

Вероятность ничьей в первой и выигрыша во второй: $$0.2 \cdot 0.4 = 0.08$$

Вероятность набрать хотя бы 4 очка: $$0.16 + 0.08 + 0.08 = 0.32$$

Ответ: 0,32