ДЗ на 13.11.2025, 11 кл Геометрия Тема: Описанная сфера 1. В сферу радиуса 12,5 см вписан конус, высота которого равна 16 см. Найти 5 осевого сечения конуса, и Ѕ поверхности конуса. 2. В сферу вписан конус, осевое сечение которого представляет собой прямоугольный Д-к с гипотенузой равной 12V2. Вычислить площадь поверхности сферы. 3. В шар радиуса 12 см вписан цилиндр, в котором диагональ осевого сечения составляет с его основанием угол 600. Вычислить площадь полной поверхности цилиндра. 4. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2, 4 и 4 см. Найдите площадь поверхности описанной около него сферы. 5. Около правильной шестиугольной призмы описана сфера радиуса 5 см. Найдите площадь основания призмы, если ее высота 8 см.

Решение задач по геометрии: 1. Конус, вписанный в сферу: * Дано: радиус сферы $$R = 12.5$$ см, высота конуса $$h = 16$$ см. * Найти: площадь осевого сечения конуса $$S_{сеч}$$ и площадь поверхности конуса $$S_{пов}$$. 1. Найдем радиус основания конуса $$r$$. Центр сферы находится на высоте конуса. Пусть расстояние от центра сферы до основания конуса равно $$x$$. Тогда $$x = |R - h| = |12.5 - 16| = 3.5$$ см. Радиус основания конуса найдем из прямоугольного треугольника (радиус сферы, радиус основания конуса, расстояние от центра сферы до основания конуса) по теореме Пифагора: $$r = sqrt{R^2 - x^2} = sqrt{12.5^2 - 3.5^2} = sqrt{156.25 - 12.25} = sqrt{144} = 12$$ см. 2. Площадь осевого сечения конуса: $$S_{сеч} = rac{1}{2} cdot 2r cdot h = r cdot h = 12 cdot 16 = 192$$ см$$^2$$. 3. Найдем образующую конуса $$l$$ по теореме Пифагора: $$l = sqrt{r^2 + h^2} = sqrt{12^2 + 16^2} = sqrt{144 + 256} = sqrt{400} = 20$$ см. 4. Площадь боковой поверхности конуса: $$S_{бок} = pi r l = pi cdot 12 cdot 20 = 240pi$$ см$$^2$$. 5. Площадь основания конуса: $$S_{осн} = pi r^2 = pi cdot 12^2 = 144pi$$ см$$^2$$. 6. Площадь полной поверхности конуса: $$S_{пов} = S_{бок} + S_{осн} = 240pi + 144pi = 384pi$$ см$$^2$$. Ответ: Площадь осевого сечения конуса равна 192 см$$^2$$, площадь поверхности конуса равна 384π см$$^2$$. 2. Конус с прямоугольным осевым сечением, вписанный в сферу: * Дано: гипотенуза прямоугольного треугольника (осевого сечения) $$c = 12sqrt{2}$$. * Найти: площадь поверхности сферы $$S_{сферы}$$. 1. В осевом сечении конуса получается прямоугольный треугольник, вписанный в окружность (большой круг сферы). Так как треугольник прямоугольный, то его гипотенуза является диаметром окружности. Следовательно, диаметр сферы равен $$12sqrt{2}$$, а радиус $$R = rac{12sqrt{2}}{2} = 6sqrt{2}$$ см. 2. Площадь поверхности сферы: $$S_{сферы} = 4pi R^2 = 4pi (6sqrt{2})^2 = 4pi cdot 36 cdot 2 = 288pi$$ см$$^2$$. Ответ: Площадь поверхности сферы равна 288π см$$^2$$. 3. Цилиндр, вписанный в шар: * Дано: радиус шара $$R = 12$$ см, угол между диагональю осевого сечения и основанием цилиндра $$60^circ$$. * Найти: площадь полной поверхности цилиндра $$S_{цил}$$. 1. Пусть радиус основания цилиндра $$r$$, а высота $$h$$. Тогда диагональ осевого сечения $$d = rac{h}{sin 60^circ} = rac{h}{sqrt{3}/2} = rac{2h}{sqrt{3}}$$. Также $$d = sqrt{(2r)^2 + h^2}$$. 2. Центр шара находится в центре осевого сечения цилиндра. Тогда по теореме Пифагора $$R^2 = r^2 + (rac{h}{2})^2$$. Отсюда $$144 = r^2 + rac{h^2}{4}$$. 3. Из условия $$ an 60^circ = rac{h}{2r}$$, следует $$h = 2rsqrt{3}$$. Подставим в уравнение $$144 = r^2 + rac{(2rsqrt{3})^2}{4} = r^2 + 3r^2 = 4r^2$$. Отсюда $$r^2 = 36$$, $$r = 6$$ см, $$h = 2cdot 6 cdot sqrt{3} = 12sqrt{3}$$ см. 4. Площадь боковой поверхности цилиндра: $$S_{бок} = 2pi r h = 2pi cdot 6 cdot 12sqrt{3} = 144pisqrt{3}$$ см$$^2$$. 5. Площадь двух оснований цилиндра: $$2S_{осн} = 2pi r^2 = 2pi cdot 6^2 = 72pi$$ см$$^2$$. 6. Площадь полной поверхности цилиндра: $$S_{цил} = S_{бок} + 2S_{осн} = 144pisqrt{3} + 72pi = 72pi(2sqrt{3} + 1)$$ см$$^2$$. Ответ: Площадь полной поверхности цилиндра равна 72π(2√3 + 1) см$$^2$$. 4. Площадь поверхности сферы, описанной около параллелепипеда: * Дано: измерения прямоугольного параллелепипеда 2, 4 и 4 см. * Найти: площадь поверхности описанной сферы. 1. Радиус сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, равен половине диагонали параллелепипеда. 2. Найдем диагональ параллелепипеда: $$d = sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = sqrt{2^2 + 4^2 + 4^2} = sqrt{4 + 16 + 16} = sqrt{36} = 6$$ см. 3. Радиус сферы: $$R = rac{d}{2} = rac{6}{2} = 3$$ см. 4. Площадь поверхности сферы: $$S = 4pi R^2 = 4pi cdot 3^2 = 36pi$$ см$$^2$$. Ответ: Площадь поверхности описанной сферы равна 36π см$$^2$$. 5. Площадь основания призмы, описанной около сферы: * Дано: радиус сферы R = 5 см, высота призмы h = 8 см. * Найти: площадь основания призмы. 1. Призма правильная шестиугольная, описана около сферы. Значит, сфера вписана в призму. Высота призмы равна диаметру сферы. Это противоречит условию. Должно быть наоборот: сфера описана около призмы. 2. Центр описанной сферы лежит в центре призмы. Сечение, проходящее через центр сферы, - окружность, описанная около правильного шестиугольника. Радиус этой окружности равен стороне шестиугольника. Следовательно, сторона основания призмы равна 5 см. 3. Площадь правильного шестиугольника равна $$S = rac{3sqrt{3}}{2}a^2$$, где a - сторона шестиугольника. 4. Тогда $$S = rac{3sqrt{3}}{2} cdot 5^2 = rac{75sqrt{3}}{2}$$ см$$^2$$. Ответ: Площадь основания призмы равна (75√3)/2 см$$^2$$.