EF – ср. линия трапеции ABCD, E₁F₁ – ср. линия трапеции AEFD, E₂F₂ – ср. линия трапеции EBCF, E₁F₁ = 18, E₂F₂ = 12 Найти: AD

EF – ср. линия трапеции ABCD, тогда $$EF = \frac{AD + BC}{2}$$. E₁F₁ – ср. линия трапеции AEFD, тогда $$E_1F_1 = \frac{AD + EF}{2}$$. E₂F₂ – ср. линия трапеции EBCF, тогда $$E_2F_2 = \frac{EF + BC}{2}$$.

Сложим два последних уравнения:

$$E_1F_1 + E_2F_2 = \frac{AD + EF}{2} + \frac{EF + BC}{2}$$ $$E_1F_1 + E_2F_2 = \frac{AD + EF + EF + BC}{2}$$ $$E_1F_1 + E_2F_2 = \frac{AD + BC + 2EF}{2}$$

Умножим обе части уравнения на 2:

$$2(E_1F_1 + E_2F_2) = AD + BC + 2EF$$ $$2EF = AD + BC$$ $$2(E_1F_1 + E_2F_2) = AD + BC + AD + BC$$ $$2(E_1F_1 + E_2F_2) = 2AD + 2BC$$ $$E_1F_1 + E_2F_2 = AD + BC$$ $$AD + BC = 18 + 12 = 30$$

Выразим BC через AD:

$$EF = \frac{AD + BC}{2}$$ $$2EF = AD + BC$$ $$2EF = 30$$ $$EF = 15$$

Подставим EF в уравнение для E₁F₁:

$$E_1F_1 = \frac{AD + EF}{2}$$ $$18 = \frac{AD + 15}{2}$$ $$AD + 15 = 36$$ $$AD = 36 - 15 = 21$$

Ответ: 21