Экзаменационный билет №3 1. Определение вектора. Определение равных векторов. Законы сложения векторов (доказательство любого на выбор абитуриента), правило параллелограмма. 2. Товар на распродаже уценили на 30%, при этом он стал стоить 700 рублей. Сколько рублей стоил товар до распродажи. 3. Какова наибольшая площадь прямоугольного участка земли, который можно огородить забором, имеющим длину 100м?

Разберем задачи из экзаменационного билета.

Задача 2

Пусть x - стоимость товара до распродажи. После уценки на 30% товар стал стоить 700 рублей. Это означает, что 70% от первоначальной стоимости составляет 700 рублей.

Составим уравнение:

$$0.7x = 700$$

Решим уравнение, чтобы найти x:

$$x = \frac{700}{0.7} = 1000$$

Ответ: 1000 рублей.

Задача 3

Пусть длина прямоугольного участка равна a, а ширина равна b. Периметр прямоугольника, который равен длине забора, составляет 100 метров.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле:

$$P = 2(a + b)$$

Таким образом:

$$2(a + b) = 100$$ $$a + b = 50$$

Выразим b через a:

$$b = 50 - a$$

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле:

$$S = a \cdot b = a(50 - a) = 50a - a^2$$

Чтобы найти наибольшую площадь, нужно найти максимум функции (S(a) = 50a - a^2). Это квадратная функция, графиком которой является парабола, ветви которой направлены вниз. Максимум достигается в вершине параболы.

Найдем вершину параболы по формуле:

$$a_в = \frac{-B}{2A}$$

В нашем случае (A = -1), (B = 50), поэтому:

$$a_в = \frac{-50}{2(-1)} = 25$$

Тогда:

$$b = 50 - a = 50 - 25 = 25$$

Наибольшая площадь прямоугольного участка:

$$S = a \cdot b = 25 \cdot 25 = 625$$

Ответ: 625 квадратных метров.