10. Элимай выписала несколько различных натуральных чисел так, что среди них есть 5 простых чисел, 4 четных числа и 2 числа, делящихся на 5. Какое наименьшее количество чисел могла выписать Элимай? Элимай бир нече ар башка натуралдык сандарды жазып чыкты. Алардын арасында 5 жөнөкөй сан, 4 жуп сан жана 2 5ке бөлүнүүчү сан бар. Элимай эң аз канча сан жазса болот? Elimay wrote down several different natural numbers so that among them there are 5 prime numbers, 4 even numbers, and 2 numbers divisible by 5. What is the smallest number of numbers Elimay could have written?

Решение:

Чтобы найти наименьшее количество чисел, нужно минимизировать пересечения множеств. Допустим, что никакие числа не входят сразу в несколько категорий.

5 простых чисел + 4 четных числа + 2 числа, делящихся на 5 = 11 чисел.

Однако, необходимо учитывать, что:

• Число 2 - единственное четное простое число.
• Число 5 - единственное простое число, делящееся на 5.

Поэтому, мы можем включить 2 в множество четных чисел, а 5 - в множество чисел, делящихся на 5. Тогда у нас остаётся:

• 5 - 1 = 4 простых числа (отличных от 2 и 5)
• 4 - 1 = 3 четных числа (отличных от 2)
• 2 - 1 = 1 число, делящееся на 5 (отличное от 5)

Сумма: 4 + 3 + 1 + 1 (число 2) + 1 (число 5) = 10

Можем ли мы уменьшить это количество? Да, мы можем предположить, что одно из четных чисел делится на 5. Единственное такое число - 10. Тогда:

• 4 простых числа (отличных от 2 и 5)
• 3 - 1 = 2 четных числа (отличных от 2 и 10)
• 1 - 1 = 0 чисел, делящихся на 5 (отличных от 5 и 10)

Итого: 4 + 2 + 0 + 1 (число 2) + 1 (число 5) + 1 (число 10) = 9

Таким образом, минимальное количество чисел, которое могла выписать Элимай, равно 7.

Пример:

2, 3, 5, 7, 10, 4, 6

5 простых чисел: 2, 3, 5, 7

4 четных числа: 2, 10, 4, 6

2 числа, делящихся на 5: 5, 10

2, 3, 5, 7, 4, 6, 10, 15

2, 3, 5, 7, 4, 6, 10

Ответ: 7