17 Если бассейн наполнять только через первую тру- бу, то он наполнится за 6 часов, если только через вторую трубу за 10 часов, а если только через третью трубу за 30 часов. За какое время на- полнится бассейн, если все три трубы открыть на 1 час 20 минут, а затем какую-то одну из них за- крыть? Укажите все возможные варианты ответа, выразив их в часах и минутах. Решение:

Пусть V - объем бассейна.

Производительность первой трубы: $$\frac{V}{6}$$ (объема в час)

Производительность второй трубы: $$\frac{V}{10}$$ (объема в час)

Производительность третьей трубы: $$\frac{V}{30}$$ (объема в час)

Вместе три трубы наполняют бассейн за 1 час 20 минут ($$\frac{4}{3}$$ часа): $$\frac{4}{3} \cdot (\frac{V}{6} + \frac{V}{10} + \frac{V}{30}) = \frac{4}{3} \cdot V \cdot (\frac{5 + 3 + 1}{30}) = \frac{4}{3} \cdot V \cdot \frac{9}{30} = V \cdot \frac{36}{90} = \frac{2}{5}V$$

Значит, за 1 час 20 минут заполнилось $$\frac{2}{5}$$ бассейна, осталось заполнить $$\frac{3}{5}$$ бассейна.

1) Закрыли первую трубу: Две другие трубы заполняют бассейн со скоростью: $$\frac{V}{10} + \frac{V}{30} = V \cdot (\frac{3 + 1}{30}) = \frac{4V}{30} = \frac{2V}{15}$$

Время для заполнения оставшейся части бассейна: $$\frac{\frac{3}{5}V}{\frac{2}{15}V} = \frac{3}{5} \cdot \frac{15}{2} = \frac{45}{10} = 4.5$$ часа = 4 часа 30 минут.

Итоговое время: 1 час 20 минут + 4 часа 30 минут = 5 часов 50 минут.

2) Закрыли вторую трубу: Первая и третья трубы заполняют бассейн со скоростью: $$\frac{V}{6} + \frac{V}{30} = V \cdot (\frac{5 + 1}{30}) = \frac{6V}{30} = \frac{V}{5}$$

Время для заполнения оставшейся части бассейна: $$\frac{\frac{3}{5}V}{\frac{1}{5}V} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{1} = 3$$ часа.

Итоговое время: 1 час 20 минут + 3 часа = 4 часа 20 минут.

3) Закрыли третью трубу: Первая и вторая трубы заполняют бассейн со скоростью: $$\frac{V}{6} + \frac{V}{10} = V \cdot (\frac{5 + 3}{30}) = \frac{8V}{30} = \frac{4V}{15}$$

Время для заполнения оставшейся части бассейна: $$\frac{\frac{3}{5}V}{\frac{4}{15}V} = \frac{3}{5} \cdot \frac{15}{4} = \frac{45}{20} = 2.25$$ часа = 2 часа 15 минут.

Итоговое время: 1 час 20 минут + 2 часа 15 минут = 3 часа 35 минут.

Ответ: 5 часов 50 минут; 4 часа 20 минут; 3 часа 35 минут.