7. Если боковую поверхность конуса разрезать по образующей и развернуть на плоскости, то получится круговой сектор с радиусом 4 см и центральным углом 120°. Найдите объем этого конуса.

Для решения задачи нам потребуется знание формулы для объема конуса и умение работать с разверткой боковой поверхности конуса. **1. Найдем радиус основания конуса (r).** Развертка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор. Длина дуги этого сектора равна длине окружности основания конуса. Длина дуги сектора вычисляется по формуле: $$L = \frac{\theta}{360°} \cdot 2 \pi R$$ Где: * $$L$$ – длина дуги сектора * $$\theta$$ – центральный угол сектора (в градусах) * $$R$$ – радиус сектора (в нашем случае, равен образующей конуса) Из условия известно, что $$R = 4$$ см и $$\theta = 120°$$. Подставим значения в формулу: $$L = \frac{120°}{360°} \cdot 2 \pi (4) = \frac{1}{3} \cdot 8\pi = \frac{8\pi}{3}$$ см Длина окружности основания конуса равна длине дуги развертки: $$2\pi r = \frac{8\pi}{3}$$ Разделим обе части на $$2\pi$$: $$r = \frac{8\pi}{3} \cdot \frac{1}{2\pi} = \frac{4}{3}$$ см **2. Найдем высоту конуса (h).** Высота конуса, радиус основания и образующая конуса образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора: $$h^2 + r^2 = R^2$$ Где: * $$h$$ – высота конуса * $$r$$ – радиус основания конуса * $$R$$ – образующая конуса Мы знаем, что $$r = \frac{4}{3}$$ см и $$R = 4$$ см. Подставим значения и найдем $$h$$: $$h^2 + (\frac{4}{3})^2 = 4^2$$ $$h^2 + \frac{16}{9} = 16$$ $$h^2 = 16 - \frac{16}{9} = \frac{144 - 16}{9} = \frac{128}{9}$$ $$h = \sqrt{\frac{128}{9}} = \frac{\sqrt{128}}{3} = \frac{8\sqrt{2}}{3}$$ см **3. Найдем объем конуса (V).** Объем конуса вычисляется по формуле: $$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$ Подставим значения $$r = \frac{4}{3}$$ см и $$h = \frac{8\sqrt{2}}{3}$$ см: $$V = \frac{1}{3} \pi (\frac{4}{3})^2 (\frac{8\sqrt{2}}{3}) = \frac{1}{3} \pi (\frac{16}{9}) (\frac{8\sqrt{2}}{3}) = \frac{128\pi \sqrt{2}}{81}$$ см$$^3$$ **Ответ:** Объем конуса равен $$\frac{128\pi \sqrt{2}}{81}$$ см$$^3$$. Развёрнутый ответ: Для решения задачи с конусом и его разверткой, необходимо выполнить несколько шагов. Сначала, находим радиус основания конуса, используя длину дуги сектора развертки, которая равна длине окружности основания. Затем, применяем теорему Пифагора для нахождения высоты конуса, зная образующую (радиус сектора развертки) и радиус основания. Наконец, вычисляем объем конуса, используя стандартную формулу, подставляя найденные значения радиуса и высоты. Таким образом, получается объем конуса равен $$\frac{128\pi \sqrt{2}}{81}$$ кубических сантиметров.