2. Если бы на круговую орбиту вблизи поверхности Луны был выведен искусственный спутник, то он двигался бы со скоростью 1,67 км/с. Определите радиус Луны, если известно, что ускорение свободного падения на её поверхности равно 1,6 м/с².

Для решения этой задачи воспользуемся следующими формулами:

1. Скорость спутника на круговой орбите:

$$v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$$

2. Ускорение свободного падения на поверхности Луны:

$$g = \frac{GM}{R^2}$$

где:

• ( v ) - скорость спутника
• ( G ) - гравитационная постоянная
• ( M ) - масса Луны
• ( R ) - радиус Луны
• ( g ) - ускорение свободного падения на поверхности Луны

Выразим ( GM ) из формулы ускорения свободного падения:

$$GM = gR^2$$

Подставим это выражение в формулу скорости спутника:

$$v = \sqrt{\frac{gR^2}{R}} = \sqrt{gR}$$

Теперь выразим радиус Луны ( R ) из этой формулы:

$$v^2 = gR$$ $$R = \frac{v^2}{g}$$

В нашем случае:

• ( v = 1.67 ) км/с = ( 1670 ) м/с
• ( g = 1.6 ) м/с²

Подставим значения:

$$R = \frac{(1670)^2}{1.6} = \frac{2788900}{1.6} = 1743062.5 \text{ м}$$

Переведем в километры:

$$R = 1743062.5 \text{ м} = 1743.0625 \text{ км}$$

Ответ: Радиус Луны составляет примерно 1743.0625 км.