f(x) = - 2/3 x³ + x² - 12

Решение:

Дана функция \( f(x) = -\frac{2}{3}x^3 + x^2 - 12 \).

Найдем производную для определения свойств функции.

Производная:

\( f'(x) = \frac{d}{dx}\left(-\frac{2}{3}x^3 + x^2 - 12\right) = -\frac{2}{3} \cdot 3x^2 + 2x = -2x^2 + 2x \)

Критические точки:

Приравниваем производную к нулю: \( -2x^2 + 2x = 0 \)

Выносим общий множитель \( -2x \): \( -2x(x - 1) = 0 \)

Корни уравнения: \( x = 0 \) и \( x = 1 \).

Интервалы возрастания/убывания:

• На интервале \( (-\infty, 0) \), например, при \( x = -1 \): \( f'(-1) = -2(-1)^2 + 2(-1) = -2(1) - 2 = -4 < 0 \). Функция убывает.
• На интервале \( (0, 1) \), например, при \( x = 0.5 \): \( f'(0.5) = -2(0.5)^2 + 2(0.5) = -2(0.25) + 1 = -0.5 + 1 = 0.5 > 0 \). Функция возрастает.
• На интервале \( (1, \infty) \), например, при \( x = 2 \): \( f'(2) = -2(2)^2 + 2(2) = -2(4) + 4 = -8 + 4 = -4 < 0 \). Функция убывает.

Экстремумы:

• При \( x = 0 \) (переход от убывания к возрастанию) — локальный минимум.
• При \( x = 1 \) (переход от возрастания к убыванию) — локальный максимум.

Ответ: Дана функция \( f(x) = -\frac{2}{3}x^3 + x^2 - 12 \).