f(x) = x³ + 9x²

Решение:

Дана функция \( f(x) = x^3 + 9x^2 \).

Для данной функции можно найти производную, чтобы определить критические точки и интервалы возрастания/убывания.

Производная:

\( f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 9x^2) = 3x^2 + 18x \)

Критические точки:

Приравниваем производную к нулю: \( 3x^2 + 18x = 0 \)

Выносим общий множитель \( 3x \): \( 3x(x + 6) = 0 \)

Корни уравнения: \( x = 0 \) и \( x = -6 \).

Интервалы возрастания/убывания:

• На интервале \( (-\infty, -6) \), например, при \( x = -7 \): \( f'(-7) = 3(-7)^2 + 18(-7) = 3(49) - 126 = 147 - 126 = 21 > 0 \). Функция возрастает.
• На интервале \( (-6, 0) \), например, при \( x = -3 \): \( f'(-3) = 3(-3)^2 + 18(-3) = 3(9) - 54 = 27 - 54 = -27 < 0 \). Функция убывает.
• На интервале \( (0, \infty) \), например, при \( x = 1 \): \( f'(1) = 3(1)^2 + 18(1) = 3 + 18 = 21 > 0 \). Функция возрастает.

Экстремумы:

• При \( x = -6 \) (переход от возрастания к убыванию) — локальный максимум.
• При \( x = 0 \) (переход от убывания к возрастанию) — локальный минимум.

Ответ: Дана функция \( f(x) = x^3 + 9x^2 \).