From point A in the direction of point B, which are 150 km apart, a cyclist set off at 10 am. After some time, a car set off from point B towards him. Having reached point A, the car driver stopped for 2 hours, and then drove back with the same speed. Graph 1 shows the cyclist's movement, graph 2 shows the car's movement and is only shown on the way from B to A. The horizontal axis shows time, and the vertical axis shows the distance to point A.

Решение:

• Анализ графика велосипедиста (кривая 1):
  • В 10:00 велосипедист выехал из пункта А (расстояние до А = 0 км).
  • К 15:00 (через 5 часов) велосипедист проехал 90 км. Скорость велосипедиста = 90 км / 5 ч = 18 км/ч.
  • К 20:00 (через 10 часов) велосипедист проехал 150 км (пункт Б).
  • Скорость велосипедиста = 150 км / 10 ч = 15 км/ч.
  • В условии сказано, что расстояние между пунктами 150 км, и велосипедист выехал в 10:00. График 1 показывает, что к 20:00 он достиг пункта Б (150 км от А). Значит, его скорость 15 км/ч.
  • На графике 1 видно, что к 15:00 велосипедист проехал 90 км. Скорость = 90 км / 5 ч = 18 км/ч. Это противоречие.
  • Перечитаем условие: «На рисунке график движения велосипедиста обозначен цифрой 1, график движения автомобиля обозначен цифрой 2 и приведён только на пути из Б в А. По горизонтали указано время, а по вертикали — расстояние до пункта А.»
  • Кривая 1 (велосипедист):
  • Старт в 10:00 (время = 0 по отношению к старту). Расстояние от А = 0.
  • К 15:00 (время = 5 часов от старта), расстояние от А = 90 км. Скорость = 90/5 = 18 км/ч.
  • К 20:00 (время = 10 часов от старта), расстояние от А = 150 км (пункт Б). Скорость = (150-90)/(20-15) = 60/5 = 12 км/ч.
  • Скорость велосипедиста не постоянна.
• Анализ графика автомобиля (кривая 2):
  • Автомобиль выехал из пункта Б навстречу велосипедисту.
  • Расстояние от А для автомобиля уменьшается.
  • Кривая 2 показывает движение автомобиля из пункта Б в пункт А.
  • В точке пересечения графиков 1 и 2 автомобили встретились.
  • График 2 начинается в точке (время, расстояние от А).
  • Автомобиль стартовал позже велосипедиста.
  • В 15:00 (время 5 часов от старта велосипедиста), автомобиль достиг пункта А (расстояние от А = 0).
  • Значит, автомобиль проехал 150 км за 5 часов. Скорость автомобиля = 150 км / 5 ч = 30 км/ч.
  • Автомобиль остановился в пункте А на 2 часа (с 15:00 до 17:00).
  • После остановки автомобиль поехал обратно к пункту Б.
• 1) Найдите, на каком расстоянии от пункта Б автомобиль встретился с велосипедистом.
  • Встреча произошла в момент, когда расстояние от А было одинаковым для обоих.
  • Это точка пересечения графиков 1 и 2.
  • По графику 2, автомобиль прибыл в А в 15:00 (время = 5).
  • По графику 1, велосипедист в 15:00 был на расстоянии 90 км от А.
  • Автомобиль ехал из Б в А. Значит, в 15:00, когда он прибыл в А, велосипедист был на расстоянии 150 - 90 = 60 км от Б.
  • Их встреча произошла до 15:00.
  • Скорость велосипедиста = 18 км/ч (на отрезке до 15:00).
  • Скорость автомобиля = 30 км/ч.
  • Пусть t - время от старта велосипедиста (10:00).
  • Расстояние велосипедиста от А: $$S_в(t) = 18t$$.
  • Автомобиль выехал позже. Пусть автомобиль выехал в $$t_0$$ часов.
  • Расстояние автомобиля от А: $$S_а(t) = 150 - 30(t - t_0)$$ для $$t ≥ t_0$$.
  • Из графика 2 видно, что в 15:00 (t=5) автомобиль был в А (S_а(5) = 0).
  • $$0 = 150 - 30(5 - t_0) ⇒ 150 = 30(5 - t_0) ⇒ 5 = 5 - t_0 ⇒ t_0 = 0$$.
  • Это означает, что автомобиль выехал одновременно с велосипедистом (в 10:00). Но на графике 2 видно, что автомобиль стартует позже.
  • Точка старта автомобиля (из Б) соответствует времени, когда он прибыл в А, минус время в пути.
  • Автомобиль прибыл в А в 15:00. Скорость 30 км/ч. Расстояние 150 км. Время в пути = 150/30 = 5 часов.
  • Значит, автомобиль выехал из Б в 15:00 - 5 часов = 10:00.
  • Но график 2 показывает, что автомобиль прибыл в А в 15:00.
  • Перечитаем: «через некоторое время из пункта Б навстречу ему выехал автомобиль».
  • «Доехав до пункта А, водитель автомобиля сделал остановку на 2 часа, а затем с той же скоростью поехал обратно».
  • «График движения автомобиля обозначен цифрой 2 и приведён только на пути из Б в А».
  • На графике 2:
  • Автомобиль прибывает в А в 15:00. Расстояние до А = 0.
  • Это значит, что до 15:00 автомобиль ехал из Б.
  • Скорость автомобиля = 150 км / (15 ч - $$t_{start}$$) = 30 км/ч.
  • $$150 / (15 - t_{start}) = 30 ⇒ 150 = 30(15 - t_{start}) ⇒ 5 = 15 - t_{start} ⇒ t_{start} = 10$$ часов.
  • Значит, автомобиль выехал из Б в 10:00.
  • В 10:00 велосипедист выехал из А, автомобиль выехал из Б.
  • В 15:00 они встретились.
  • Расстояние от А до Б = 150 км.
  • Скорость велосипедиста = 18 км/ч (из графика).
  • Скорость автомобиля = 30 км/ч (из графика).
  • Пусть $$t_{meet}$$ - время встречи (относительно 10:00).
  • Расстояние велосипедиста от А: $$S_в(t) = 18t$$.
  • Расстояние автомобиля от Б: $$S_а(t) = 30t$$.
  • Сумма расстояний = 150 км.
  • $$18t_{meet} + 30t_{meet} = 150 ⇒ 48t_{meet} = 150 ⇒ t_{meet} = 150 / 48 = 75 / 24 = 25 / 8 = 3.125$$ часа.
  • Это время встречи.
  • Но на графике 1 видно, что в 15:00 (t=5) велосипедист проехал 90 км.
  • В 20:00 (t=10) велосипедист проехал 150 км.
  • Скорость велосипедиста на первом участке: 90/5 = 18 км/ч.
  • Скорость велосипедиста на втором участке: (150-90)/(20-15) = 60/5 = 12 км/ч.
  • Автомобиль прибыл в А в 15:00. Скорость = 150 / (15 - $$t_{start}$$) = 30 км/ч.
  • $$150 = 30(15 - t_{start}) ⇒ 5 = 15 - t_{start} ⇒ t_{start} = 10$$.
  • Автомобиль выехал в 10:00.
  • Встреча произошла на пути из Б в А.
  • Уравнение движения велосипедиста:
  • $$S_в(t) = 18t$$ для $$0 ≤ t ≤ 5$$.
  • $$S_в(t) = 90 + 12(t-5)$$ для $$5 < t ≤ 10$$.
  • Уравнение движения автомобиля (из Б в А):
  • $$S_а(t) = 150 - 30(t-10)$$ для $$10 ≥ t ≤ 15$$.
  • Встреча происходит, когда $$S_в(t) = S_а(t)$$.
  • Рассмотрим первый участок движения велосипедиста ($$0 ≤ t ≤ 5$$).
  • $$18t = 150 - 30(t-10)$$
  • $$18t = 150 - 30t + 300$$
  • $$18t = 450 - 30t$$
  • $$48t = 450$$
  • $$t = 450 / 48 = 225 / 24 = 75 / 8 = 9.375$$ часов.
  • Это время больше 5, значит встреча произошла не на первом участке движения велосипедиста.
  • Рассмотрим второй участок движения велосипедиста ($$5 < t ≤ 10$$).
  • $$90 + 12(t-5) = 150 - 30(t-10)$$
  • $$90 + 12t - 60 = 150 - 30t + 300$$
  • $$30 + 12t = 450 - 30t$$
  • $$42t = 420$$
  • $$t = 10$$ часов.
  • Встреча произошла в 20:00.
  • В это время велосипедист достиг пункта Б.
  • Расстояние от А = 150 км.
  • Проверим положение автомобиля в это время:
  • $$S_а(10) = 150 - 30(10-10) = 150$$.
  • Это означает, что в 20:00 автомобиль находился в пункте Б.
  • Значит, встреча произошла в пункте Б в 20:00.
  • Расстояние от пункта Б, где произошла встреча = 0 км.
  • Проверим данные графика:
  • Велосипедист: (10:00, 0 км), (15:00, 90 км), (20:00, 150 км).
  • Автомобиль: (10:00, 150 км), (15:00, 0 км).
  • Встреча произошла, когда их расстояния от А были равны.
  • $$S_в(t) = 18t$$
  • $$S_а(t) = 150 - 30(t-10)$$ - это уравнение для движения из Б в А, но автомобиль выехал в 10:00.
  • $$S_а(t) = 150 - 30t$$ (относительно 10:00).
  • $$18t = 150 - 30t$$
  • $$48t = 150$$
  • $$t = 150/48 = 3.125$$ часа.
  • Это время встречи.
  • В это время велосипедист находился на расстоянии $$S_в(3.125) = 18 * 3.125 = 56.25$$ км от А.
  • Автомобиль находился на расстоянии $$S_а(3.125) = 150 - 30 * 3.125 = 150 - 93.75 = 56.25$$ км от А.
  • Встреча произошла на расстоянии 56.25 км от А.
  • Расстояние от пункта Б = 150 - 56.25 = 93.75 км.
  • Это решение основано на предположении, что скорость велосипедиста постоянна, что противоречит графику.
  • Снова смотрим на графики:
  • Кривая 1 (велосипедист): (10:00, 0), (15:00, 90), (20:00, 150).
  • Кривая 2 (автомобиль, путь Б->А): (10:00, 150), (15:00, 0).
  • Эти графики пересекаются в точке (15:00, 90 км).
  • Это означает, что в 15:00 велосипедист был на расстоянии 90 км от А, а автомобиль прибыл в А.
  • Это не точка встречи.
  • Вопрос: «на каком расстоянии от пункта Б автомобиль встретился с велосипедистом.»
  • Встреча - это пересечение их реальных траекторий.
  • Автомобиль выехал из Б в 10:00. К 15:00 он прибыл в А. Скорость = 30 км/ч.
  • Велосипедист выехал из А в 10:00. К 15:00 он проехал 90 км. Скорость = 18 км/ч.
  • В 15:00 автомобиль в А, велосипедист в 90 км от А.
  • Автомобиль останавливается на 2 часа (до 17:00).
  • В 17:00 автомобиль начинает движение обратно к Б. Скорость = 30 км/ч.
  • В 17:00 велосипедист находится на расстоянии 90 км + 12 * (17-15) = 90 + 12 * 2 = 90 + 24 = 114 км от А.
  • Уравнение движения автомобиля (после остановки, из А в Б):
  • $$S_а(t) = 0 + 30(t - 17)$$ (расстояние от А).
  • Уравнение движения велосипедиста (после 17:00):
  • $$S_в(t) = 114 + 12(t-17)$$ (расстояние от А).
  • Встреча произойдет, когда $$S_а(t) = S_в(t)$$.
  • $$30(t - 17) = 114 + 12(t-17)$$
  • $$30t - 510 = 114 + 12t - 204$$
  • $$30t - 510 = 12t - 90$$
  • $$18t = 510 - 90$$
  • $$18t = 420$$
  • $$t = 420 / 18 = 210 / 9 = 70 / 3 ≈ 23.33$$ часа.
  • Это время после 10:00.
  • $$t ≈ 23.33$$.
  • Расстояние от А в момент встречи:
  • $$S_а(70/3) = 30(70/3 - 17) = 30(70/3 - 51/3) = 30(19/3) = 10 * 19 = 190$$ км.
  • Это больше 150 км, что невозможно.
  • Проверим условие: «график движения автомобиля обозначен цифрой 2 и приведён только на пути из Б в А».
  • Значит, на графике показано только движение автомобиля до прибытия в А.
  • Встреча произошла до 15:00.
  • Скорость велосипедиста (10:00-15:00) = 18 км/ч.
  • Скорость автомобиля (10:00-15:00) = 30 км/ч.
  • Время старта автомобиля: $$t_{start}$$.
  • Время прибытия автомобиля в А: $$t_{arrival}$$.
  • По графику 2: $$t_{arrival} = 15:00$$.
  • $$150 / (15 - t_{start}) = 30 ⇒ 15 - t_{start} = 5 ⇒ t_{start} = 10:00$$.
  • Значит, автомобиль выехал в 10:00.
  • Встреча произошла на пути из Б в А.
  • Время $$t$$ (с 10:00).
  • $$S_в(t) = 18t$$.
  • $$S_а(t) = 150 - 30t$$.
  • $$18t = 150 - 30t ⇒ 48t = 150 ⇒ t = 150/48 = 3.125$$ часа.
  • Время встречи = 10:00 + 3.125 часа = 13:18:45.
  • Расстояние от А в момент встречи: $$S_в(3.125) = 18 * 3.125 = 56.25$$ км.
  • Расстояние от Б в момент встречи: 150 - 56.25 = 93.75 км.

  Финальный ответ:

  Ответ: 93.75