30.10.2025г. Контрольная работа

Здравствуйте! Сейчас решим задачи с доски. 1. Две стороны треугольника равны 10 см и 12 см, а угол между ними 120°. Найти третью сторону треугольника и его площадь. Для решения этой задачи нам понадобятся теорема косинусов и формула площади треугольника. Теорема косинусов: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)$$, где a и b — известные стороны, γ — угол между ними, с — третья сторона. Площадь треугольника: $$S = \frac{1}{2}ab \cdot \sin(\gamma)$$ Подставляем данные: $$c^2 = 10^2 + 12^2 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot \cos(120^\circ)$$ $$c^2 = 100 + 144 - 240 \cdot (-\frac{1}{2})$$ $$c^2 = 244 + 120 = 364$$ $$c = \sqrt{364} = 2\sqrt{91} \approx 19.08 \text{ см}$$ Теперь найдем площадь: $$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot \sin(120^\circ)$$ $$S = 60 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3} \approx 51.96 \text{ см}^2$$ Ответ: Третья сторона ≈ 19.08 см, площадь ≈ 51.96 см². 2. В треугольнике ABC известно, что AC = $$5\sqrt{2}$$ см, ∠B = 45°, ∠C = 30°. Найти сторону AB треугольника. Для решения этой задачи можно воспользоваться теоремой синусов: $$\frac{AB}{\sin(C)} = \frac{AC}{\sin(B)}$$ Подставляем данные: $$\frac{AB}{\sin(30^\circ)} = \frac{5\sqrt{2}}{\sin(45^\circ)}$$ $$\frac{AB}{\frac{1}{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$ $$AB = \frac{1}{2} \cdot \frac{5\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}$$ $$AB = 5 \text{ см}$$ Ответ: AB = 5 см. 3. В равнобедренном треугольнике ABC AC = BC, высота CH = 6, AB = 16. Найти AC. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Значит, AH = HB = AB / 2 = 16 / 2 = 8. Рассмотрим прямоугольный треугольник CHB. По теореме Пифагора: $$AC^2 = CH^2 + AH^2$$ $$AC^2 = 6^2 + 8^2$$ $$AC^2 = 36 + 64 = 100$$ $$AC = \sqrt{100} = 10$$ Ответ: AC = 10.