г) В треугольнике со сторонами 9 и 15 проведены высоты к этим сторонам. Найдите меньшую из этих высот, если большая из них равна 10.

Задание 409. г)

Дано:

• Сторона 1: \( a = 9 \)
• Сторона 2: \( b = 15 \)
• Большая высота: \( h_{max} = 10 \)

Найти: меньшую высоту \( h_{min} \).

Решение:

Площадь треугольника \( S \) можно выразить как:

\[ S = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b \]

Значит, \( a h_a = b h_b \).

По условию, \( a = 9 \) и \( b = 15 \). Сторона \( a \) короче стороны \( b \). Поэтому высота, проведённая к стороне \( a \) (то есть \( h_a \)), будет больше, чем высота, проведённая к стороне \( b \) (то есть \( h_b \)).

Следовательно, большая высота \( h_{max} = h_a = 10 \).

Теперь найдём меньшую высоту \( h_b \), используя равенство:

\[ a h_a = b h_b \]

\[ 9 \cdot 10 = 15 \cdot h_b \]

\[ 90 = 15 h_b \]

\[ h_b = \frac{90}{15} = 6 \]

Меньшая высота равна 6.

Ответ: Меньшая высота равна 6.