Геометрическая прогрессия задана условиями: \( b_1 = -81, b_{n+1} = -\frac{1}{3}b_n \). Найдите \( b_7 \).

Решение:

Дана геометрическая прогрессия с первым членом \( b_1 = -81 \) и знаменателем \( q = -\frac{1}{3} \).

Формула n-го члена геометрической прогрессии: \( b_n = b_1 · q^{n-1} \).

Чтобы найти \( b_7 \), подставим значения в формулу:

\[ b_7 = b_1 · q^{7-1} = b_1 · q^6 \]

\[ b_7 = -81 · \left(-\frac{1}{3}\right)^6 \]

Вычислим \( \left(-\frac{1}{3}\right)^6 \):

\[ \left(-\frac{1}{3}\right)^6 = \left(-1\right)^6 · \left(\frac{1}{3}\right)^6 = 1 · \frac{1^6}{3^6} = \frac{1}{729} \]

Теперь вычислим \( b_7 \):

\[ b_7 = -81 · \frac{1}{729} \]

Упростим дробь, зная, что \( 81 = 3^4 \) и \( 729 = 3^6 \):

\[ b_7 = -\frac{81}{729} = -\frac{3^4}{3^6} = -\frac{1}{3^2} = -\frac{1}{9} \]

Ответ: \( b_7 = -\frac{1}{9} \).