Геометрически поясните, почему $$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^{100}} < 1$$.

Рассмотрим числовую прямую от 0 до 1.

Первый отрезок равен $$\frac{1}{2}$$.

Второй отрезок равен $$\frac{1}{4}$$.

Третий отрезок равен $$\frac{1}{8}$$.

Каждый следующий отрезок в два раза меньше предыдущего.

Сумма всех этих отрезков никогда не достигнет 1, потому что всегда останется небольшой зазор. Этот зазор будет становиться все меньше и меньше с каждым новым отрезком, но он никогда не исчезнет полностью. Таким образом, сумма всегда будет меньше 1.

Следовательно, $$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^{100}} < 1$$.