2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5см, а высота, проведенная к ней, равна 2см. Найдите катеты и отрезки, на которые эта гипотенуза делится высотой.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90 градусов, AB = 5 см (гипотенуза) и высота CD = 2 см.

Обозначим AD = x, тогда DB = 5 - x.

Высота, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой, то есть $$CD^2 = AD \cdot DB$$.

Подставим известные значения: $$2^2 = x(5 - x)$$.

Раскроем скобки и получим квадратное уравнение: $$4 = 5x - x^2$$ или $$x^2 - 5x + 4 = 0$$.

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$$.

Корни уравнения: $$x_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4$$ и $$x_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1$$.

Тогда, AD = 4 см, DB = 1 см или AD = 1 см, DB = 4 см.

Теперь найдем катеты AC и BC. Используем теорему Пифагора для треугольников ADC и BDC.

В треугольнике ADC: $$AC^2 = AD^2 + CD^2$$.

Если AD = 4 см, то $$AC^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$$, следовательно, $$AC = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$ см.

Если AD = 1 см, то $$AC^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$$, следовательно, $$AC = \sqrt{5}$$ см.

В треугольнике BDC: $$BC^2 = BD^2 + CD^2$$.

Если BD = 1 см, то $$BC^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$$, следовательно, $$BC = \sqrt{5}$$ см.

Если BD = 4 см, то $$BC^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$$, следовательно, $$BC = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$ см.

Ответ: Катеты равны $$2\sqrt{5}$$ см и $$\sqrt{5}$$ см. Отрезки гипотенузы, на которые она делится высотой, равны 4 см и 1 см.