3. В прямоугольном треугольнике с углом 45° и гипотенузой 8см проведены средние линии. Найдите периметр треугольника, образованного средними линиями.

В прямоугольном треугольнике с углом 45° другой острый угол тоже равен 45°, так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90° (90° - 45° = 45°). Следовательно, этот треугольник равнобедренный.

Пусть гипотенуза равна c, а катеты равны a. Тогда c = 8 см.

По теореме Пифагора, $$a^2 + a^2 = c^2$$, $$2a^2 = c^2$$, $$2a^2 = 8^2$$, $$2a^2 = 64$$, $$a^2 = 32$$, $$a = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$ см.

Средние линии треугольника равны половине сторон, которым они параллельны.

Периметр треугольника, образованного средними линиями, равен сумме длин этих средних линий: $$P = \frac{1}{2}a + \frac{1}{2}a + \frac{1}{2}c = \frac{1}{2}(4\sqrt{2}) + \frac{1}{2}(4\sqrt{2}) + \frac{1}{2}(8) = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} + 4 = 4\sqrt{2} + 4$$ см.

Ответ: $$4\sqrt{2} + 4$$ см