Глава 4, §3, п.1 401 Найдите область определения функции: a) f(x) = √2x+9; 6) f(x) = √2x-14; в) f(x) = √8-0,5x; г) f(x) = √-12-5x; 5 д) f(x) = √6-x; 5 e) f(x) = √2x-4 ; ж) f(x) = √x−1+√x; 3) f(x) = √−x+1++ √x

Ответ:

a) \( f(x) = \sqrt{2x+9} \)

• Чтобы функция имела смысл, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

\[2x + 9 \ge 0\]

• Решаем неравенство:

\[2x \ge -9\] \[x \ge -\frac{9}{2}\]

Область определения: \( x \ge -4.5 \)

б) \( f(x) = \sqrt{2x-14} \)

• Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\[2x - 14 \ge 0\]

• Решаем неравенство:

\[2x \ge 14\] \[x \ge 7\]

Область определения: \( x \ge 7 \)

в) \( f(x) = \sqrt{8-0.5x} \)

• Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\[8 - 0.5x \ge 0\]

• Решаем неравенство:

\[-0.5x \ge -8\] \[x \le \frac{-8}{-0.5}\] \[x \le 16\]

Область определения: \( x \le 16 \)

г) \( f(x) = \sqrt{-12-5x} \)

• Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\[-12 - 5x \ge 0\]

• Решаем неравенство:

\[-5x \ge 12\] \[x \le -\frac{12}{5}\]

Область определения: \( x \le -2.4 \)

д) \( f(x) = \frac{5}{\sqrt{6-x}} \)

• Подкоренное выражение должно быть больше нуля (так как корень в знаменателе):

\[6 - x > 0\]

• Решаем неравенство:

\[-x > -6\] \[x < 6\]

Область определения: \( x < 6 \)

e) \( f(x) = \frac{5}{\sqrt{2x-4}} \)

• Подкоренное выражение должно быть больше нуля (так как корень в знаменателе):

\[2x - 4 > 0\]

• Решаем неравенство:

\[2x > 4\] \[x > 2\]

Область определения: \( x > 2 \)

ж) \( f(x) = \sqrt{x-1+\sqrt{x}} \)

• Чтобы функция имела смысл, необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательными:

\[x \ge 0 \quad \text{и} \quad x-1+\sqrt{x} \ge 0\]

• Решаем второе неравенство:

\[x-1+\sqrt{x} \ge 0\] \[\sqrt{x} \ge 1 - x\]

• Так как \( x \ge 0 \), можно рассмотреть случай \( x \ge 1 \), тогда неравенство выполнено.
• Если \( 0 \le x < 1 \), то \( 1 - x > 0 \), и можно возвести обе части в квадрат:

\[x \ge (1-x)^2\] \[x \ge 1 - 2x + x^2\] \[x^2 - 3x + 1 \le 0\]

• Находим корни квадратного уравнения \( x^2 - 3x + 1 = 0 \):

\[x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\]

• Приближенные значения корней:

\[x_1 \approx 0.38, \quad x_2 \approx 2.62\]

• Таким образом, \( 0.38 \le x \le 2.62 \). С учетом условия \( x \ge 1 \), получаем \( 1 \le x \le 2.62 \).

Область определения: \( x \ge \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \)

з) \( f(x) = \sqrt{-x+1+\frac{1}{\sqrt{x}}} \)

• Чтобы функция имела смысл, необходимо, чтобы \( x > 0 \) (так как \( \sqrt{x} \) в знаменателе) и \( -x+1+\frac{1}{\sqrt{x}} \ge 0 \):

\[-x + 1 + \frac{1}{\sqrt{x}} \ge 0\] \[1 + \frac{1}{\sqrt{x}} \ge x\]

• Очевидно, что \( x > 0 \). Рассмотрим случай \( x = 1 \):

\[-1 + 1 + \frac{1}{\sqrt{1}} = 1 \ge 0\]

• Таким образом, \( x = 1 \) является решением.

Область определения: \( (0;1] \)

Ответ:

a) \( x \ge -4.5 \)

б) \( x \ge 7 \)

в) \( x \le 16 \)

г) \( x \le -2.4 \)

д) \( x < 6 \)

e) \( x > 2 \)

ж) \( x \ge \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \)

з) \( (0;1] \)