3 Решите квадратные неравенства: a) -2x²+x,-1 < 0; б) -x² + 4x - 4 > 0; в) -3x² + x > 0;

Ответ:

a) \( -2x^2 + x - 1 < 0 \)

• Умножаем неравенство на -1, чтобы коэффициент при \( x^2 \) стал положительным:

\[2x^2 - x + 1 > 0\]

• Решаем квадратное уравнение \( 2x^2 - x + 1 = 0 \):

\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 - 8 = -7\]

• Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет корней. Поскольку коэффициент при \( x^2 \) положительный, парабола направлена вверх и всегда больше нуля. Следовательно, неравенство \( 2x^2 - x + 1 > 0 \) выполняется для всех \( x \).

Ответ: \( x \in \mathbb{R} \)

б) \( -x^2 + 4x - 4 > 0 \)

• Умножаем неравенство на -1:

\[x^2 - 4x + 4 < 0\]

• Решаем квадратное уравнение \( x^2 - 4x + 4 = 0 \):

\[(x - 2)^2 = 0\] \[x = 2\]

• Так как коэффициент при \( x^2 \) положительный, парабола направлена вверх. Неравенство \( x^2 - 4x + 4 < 0 \) не имеет решений, так как парабола касается оси x в точке \( x = 2 \), и \( (x - 2)^2 \) всегда больше или равно нулю.

Ответ: нет решений

в) \( -3x^2 + x > 0 \)

• Умножаем неравенство на -1:

\[3x^2 - x < 0\]

• Решаем квадратное уравнение \( 3x^2 - x = 0 \):

\[x(3x - 1) = 0\] \[x_1 = 0\] \[3x - 1 = 0 \Rightarrow x_2 = \frac{1}{3}\]

• Так как коэффициент при \( x^2 \) положительный, парабола направлена вверх. Неравенство \( 3x^2 - x < 0 \) выполняется между корнями.

Ответ: \( 0 < x < \frac{1}{3} \)

Ответ:

a) \( x \in \mathbb{R} \)

б) нет решений

в) \( 0 < x < \frac{1}{3} \)