Годовая контрольная работа по геометрии Вариант 2 1. Один из углов параллелограмма равен 102°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах. 2. В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции. 3. Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Найдите угол АВС, если угол ВАС равен 17°. Ответ дайте в градусах. 4. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 см изображён ромб. Найдите площадь ромба. 5. Укажите номер верного утверждения. 1) Если противоположные углы выпуклого четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. 2) Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200°, то его четвертый угол равен 100°. 3) Сумма двух противоположных углов четырехугольника не превосходит 180°. 4) Если основания трапеции равны 4 и 6, то средняя линия этой трапеции равна 10. 6. Человек стоит на расстоянии 4,2 м от столба, на котором висит фонарь, расположенный на высоте 6 м. Тень человека равна 1,8 м. Какого роста человек (в метрах)?

1. В параллелограмме сумма смежных углов равна 180 градусам. Если один из углов равен 102°, то меньший угол равен:

$$180° - 102° = 78°$$

Ответ: 78

2. Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AD и BC - основания, AD = 9, BC = 3, и угол при основании AD равен 45°. Опустим высоты BH и CK на основание AD. Тогда AH = KD.

Так как трапеция равнобедренная, то AH = KD = (AD - BC) / 2 = (9 - 3) / 2 = 3.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Угол BAH равен 45°, следовательно, треугольник ABH равнобедренный, и BH = AH = 3. Таким образом, высота трапеции равна 3.

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту:

$$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot BH = \frac{9 + 3}{2} \cdot 3 = \frac{12}{2} \cdot 3 = 6 \cdot 3 = 18$$

Ответ: 18

3. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы. Значит, треугольник ABC - прямоугольный с прямым углом C. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то угол ABC равен:

$$180° - 90° - 17° = 73°$$

Ответ: 73

4. На изображении ромб состоит из 8 полных клеток. Поскольку каждая клетка имеет размер 1x1 см, площадь ромба равна 8 см².

Ответ: 8

5. Рассмотрим каждое утверждение:

• 1) Если противоположные углы выпуклого четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм. Это верное утверждение.
• 2) Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200°, то его четвертый угол равен 100°. Это неверно, так как сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°, и четвертый угол равен 360° - 200° = 160°.
• 3) Сумма двух противоположных углов четырехугольника не превосходит 180°. Это не всегда верно. Например, в параллелограмме с углами 100° и 80° это выполняется, но есть и другие четырехугольники.
• 4) Если основания трапеции равны 4 и 6, то средняя линия этой трапеции равна 10. Это неверно, так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований: (4 + 6) / 2 = 5.

Правильный ответ: 1

6. Обозначим рост человека как x (в метрах). Рассмотрим подобные треугольники, образованные столбом, фонарем и человеком. Большой треугольник образуется столбом и расстоянием от основания столба до конца тени (4,2 + 1,8 = 6 м), а маленький треугольник образуется человеком и его тенью (1,8 м). Тогда, справедливо следующее отношение:

$$\frac{x}{1.8} = \frac{6}{6}$$

Из этого уравнения находим x:

$$x = \frac{1.8 \cdot 6}{6} = 1.8$$

Ответ: 1,8