1. Градусные меры двух углов параллелограмма относятся как 4:5. Найдите все углы параллелограмма. 2. В параллелограмме ABCD биссектриса угла А делит сторону ВС на отрезки ВК и КС. Найти периметр параллелограмма, если АВ-4см, ВК в 2 раза меньше КС. 3. Периметр ромба равен 40 см, а один из его углов равен 60°. Найдите длину диагонали, противолежащей этому углу.

1. Пусть один угол параллелограмма равен $$4x$$, а другой $$5x$$. Так как сумма градусных мер двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, то $$ 4x + 5x = 180 $$ $$ 9x = 180 $$ $$ x = 20 $$ Тогда первый угол равен $$4 \cdot 20 = 80°$$, а второй $$5 \cdot 20 = 100°$$. В параллелограмме противоположные углы равны, значит два угла по 80°, а два по 100°. 2. Пусть $$BK = x$$, тогда $$KC = 2x$$. Так как $$AD = BC$$, то $$AD = BC = BK + KC = x + 2x = 3x$$. Так как $$AB = CD$$, то $$AB = CD = 4$$ см. Поскольку $$ \angle BAA = \angle KAD$$, то треугольник $$BAK$$ - равнобедренный и $$BK = AB = 4$$ см, тогда $$AD = 3 \cdot 4 = 12$$ см. Периметр параллелограмма равен $$ P = 2(AB + AD) = 2(4 + 12) = 2 \cdot 16 = 32$$ см. 3. Так как периметр ромба равен 40 см, то его сторона равна $$40 \div 4 = 10$$ см. Пусть дана диагональ, противолежащая углу 60°. Рассмотрим половину ромба, которую диагональ делит на два равных равнобедренных треугольника. Поскольку угол ромба равен 60°, то углы при основании также равны 60°. Таким образом, образуется равносторонний треугольник со стороной 10 см. Диагональ ромба равна стороне этого треугольника, то есть 10 см.