Грамматическая основа предложения Оба мальчика, как она и утверждала, согласно семейной традиции поступили в кадетский корпус.

Для определения грамматической основы предложения необходимо найти подлежащее и сказуемое, отбросив второстепенные члены и обособленные обороты.

Предложение: Оба мальчика, как она и утверждала, согласно семейной традиции поступили в кадетский корпус.

1. Находим подлежащее: Кто или что совершает действие? Мальчики (оба мальчика).

2. Находим сказуемое: Что делают мальчики? Поступили.

3. Обособленные обороты и второстепенные члены: "как она и утверждала" — это вводная конструкция, её следует убрать при поиске грамматической основы. "Согласно семейной традиции" — обстоятельство образа действия.

Таким образом, грамматическая основа предложения — "мальчики поступили".

Из предложенных вариантов:

• А) как она утверждала — это вводная конструкция.
• В) она утверждала — это тоже часть вводной конструкции.
• С) оба поступили — "оба" — это местоимение-числительное, здесь подлежащим является существительное "мальчики".
• D) оба мальчика поступили — это полная грамматическая основа.

Ответ: D) оба мальчика поступили