Грамматическая основа предложения Оба мальчика, как она и утверждала, согласно семейной традиции поступили в кадетский корпус.

Решение:

Для определения грамматической основы предложения нужно найти подлежащее и сказуемое.

Предложение: "Оба мальчика, как она и утверждала, согласно семейной традиции поступили в кадетский корпус."

1. Подлежащее: Кто или что выполняет действие? "Оба мальчика" (или "мальчики", так как "оба" — числительное, согласующееся с подлежащим). Однако, в вариантах ответа есть "оба мальчика поступили" и "оба поступили". Числительное "оба" в именительном падеже с существительным "мальчики" образует единый субъект действия.

2. Сказуемое: Что говорится о подлежащем? "Поступили".

Сравнивая с вариантами ответа:

• А) "как она утверждала" — это придаточное предложение, являющееся вводной конструкцией.
• В) "она утверждала" — это грамматическая основа придаточного предложения.
• С) "оба поступили" — здесь "оба" является подлежащим, а "поступили" — сказуемым. Это возможно, если "оба" подразумевает "оба мальчика".
• D) "оба мальчика поступили" — "оба мальчика" — подлежащее, "поступили" — сказуемое. Это наиболее полная и точная грамматическая основа, если считать "оба" и "мальчики" единым подлежащим.

  Однако, если рассматривать "оба" как главное слово, а "мальчики" как существительное, к которому оно относится, то "оба" будет выступать в роли подлежащего (числительное в именительном падеже), а "мальчики" — как зависимое слово. В таком случае, "оба поступили" будет грамматической основой, где "оба" — подлежащее, "поступили" — сказуемое.

  В русском языке при наличии числительного "оба", "оба", "обе" и существительного в родительном падеже, часто именно числительное выступает в роли подлежащего. Но когда существительное стоит в именительном падеже, как "мальчики", то "оба" и "мальчики" вместе составляют единое подлежащее. Вариант D ("оба мальчика поступили") является более полным и точным представлением грамматической основы.

  Ответ: D) оба мальчика поступили