Грушницкий, считавший, что «эполеты дадут (ему) право надеяться», разочарован словами княжны о том, что танцуя на балу с княжной, Грушницкий начинает её утомлять.
В данном предложении пропущена часть сложноподчиненного предложения, чтобы его восстановить необходимо внимательно прочитать текст и понять, что княжна сказала то, что она утомлена танцами с Грушницким.
Ответ: танцуя