Хорды AB и CD пересекаются в точке K так, что AK = 9 см, BK = 12 см, CK : DK = 1 : 3. Найдите CD.

Решение:

По теореме о пересекающихся хордах, произведение отрезков пересекающихся хорд равны:

\[ AK \cdot BK = CK \cdot DK \]

Подставим известные значения:

\[ 9 \cdot 12 = CK \cdot DK \]

\[ 108 = CK \cdot DK \]

По условию задачи, CK : DK = 1 : 3. Пусть CK = x, тогда DK = 3x.

Подставим это в уравнение:

\[ 108 = x \cdot 3x \]

\[ 108 = 3x^2 \]

\[ x^2 = \frac{108}{3} \]

\[ x^2 = 36 \]

\[ x = \sqrt{36} \]

\[ x = 6 \]

Значит, CK = 6 см.

DK = 3 * 6 = 18 см.

Длина хорды CD равна сумме ее отрезков:

\[ CD = CK + DK \]

\[ CD = 6 + 18 \]

\[ CD = 24 \]

Ответ: 24 см.