Из точки K к окружности с центром O проведены две прямые, касающиеся данной окружности в точках M и N. Найдите отрезки KM и KN, если OK = 36 мм, ∠MKN = 120°.

Решение:

Так как KM и KN — касательные, проведенные из одной точки K к окружности, то треугольники KMO и KNO являются прямоугольными (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной), и KM = KN.

Рассмотрим треугольник KMO. Угол KMO = 90°. OK — гипотенуза, равная 36 мм.

Биссектриса угла MKO делит угол MKN пополам. Так как ∠MKN = 120°, то ∠MKO = ∠NKO = 120° / 2 = 60°.

В прямоугольном треугольнике KMO:

\[ \sin(\angle MKO) = \frac{MO}{OK} \]

\[ \sin(60°) = \frac{MO}{36} \]

Мы знаем, что
sin(60°) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{MO}{36} \]

\[ MO = 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ MO = 18\sqrt{3} \text{ мм} \]

Теперь найдем KM, используя теорему Пифагора или тригонометрию:

\[ \cos(\angle MKO) = \frac{KM}{OK} \]

\[ \cos(60°) = \frac{KM}{36} \]

Мы знаем, что cos(60°) = \(\frac{1}{2}\).

\[ \frac{1}{2} = \frac{KM}{36} \]

\[ KM = 36 \cdot \frac{1}{2} \]

\[ KM = 18 \text{ мм} \]

Так как KM = KN, то KN = 18 мм.

Ответ: KM = KN = 18 мм.