764 Хорды АВ и CD окружности с центром О равны. а) Докажите, что две дуги с концами А и В соответственно равны двум дугам с концами С и D. б) Найдите дуги с концами С и D, если ∠AOB=112°.

Решение: а) Доказательство: Рассмотрим окружность с центром O. Пусть хорды AB и CD равны (AB = CD). Треугольники AOB и COD равны по третьему признаку равенства треугольников (три стороны равны: OA = OC, OB = OD как радиусы окружности, и AB = CD по условию). Следовательно, углы AOB и COD равны (∠AOB = ∠COD). Равные центральные углы опираются на равные дуги. Следовательно, дуга AB равна дуге CD. б) Найдём дугу CD, если ∠AOB = 112° и хорды AB и CD равны: Так как хорды AB и CD равны, то и дуги, на которые они опираются, тоже равны. Значит, дуга AB равна дуге CD. Центральный угол, опирающийся на дугу AB, равен 112° (∠AOB = 112°). Следовательно, дуга CD также равна 112°. Ответ: * б) Ответ: 112°