Ответ:

Грамматическая основа включает подлежащее и сказуемое; в предложении с именным сказуемым возможна связка «есть», опущенная в настоящем времени.

  1. Вариант 1 верен: «летопись — произведение» — подлежащее и именная часть сказуемого.
  2. В варианте 2 слово «сведения» не является подлежащим: это дополнение при сочетании «начали записывать».
  3. Вариант 3 верен: «запись велась» — подлежащее и сказуемое.
  4. Вариант 4 неверен: в предложении сказуемое «интересовали» относится к подлежащему «имена», но порядок слов в предложении и точная формулировка основы не подтверждают приведённую пару как основу в указанном виде.
  5. Вариант 5 неверен: в предложении говорится, что летописи стали появляться; «летописцы» не являются подлежащим этой основы.

Ответ: 1, 3.